Multifonction convexe

En mathématiques, une multifonction convexe est une multifonction entre espaces vectoriels réels dont le graphe est convexe.

Définition

Soient $X$ et $Y$ deux espaces vectoriels réels. On dit qu'une multifonction $F:X⊸Y$ est une multifonction convexe si son graphe $𝒢(F):=\{(x,y)\in X\times Y:y\in F(x)\}$ est convexe dans l'espace vectoriel produit $X\times Y.$ Il revient au même de dire que, pour tout $(x_0,x_1)\in X^2$ et tout $t\in [0,1]$, on a

$F((1-t)x_0+t{x}_1)\supset (1-t)F(x_0)+tF(x_1).$

Quelques remarques

• Une multifonction convexe univoque est une fonction affine.
• Si $f:X\to ℝ\cup \{+\mathrm{\infty }\}$ est une fonction convexe, $f$ n'est en général pas une multifonction convexe, mais la multifonction $x\mapsto [f(x),+\mathrm{\infty }[\subset ℝ$ est convexe (son graphe est l'épigraphe de $f$).

Propriété immédiate

• Si $F:X⊸Y$ est une multifonction convexe et si $C$ est convexe dans $X$, alors $F(C)$ est convexe dans $Y$ (car $F(C)$ est la projection sur $Y$ du convexe $𝒢(F)\cap (C\times Y)$ de $X\times Y$).

Annexe

Articles connexes

• Fonction convexe
• Fonction multivaluée
• Processus convexe

Bibliographie

• Modèle:En J.F. Bonnans and A. Shapiro (2000). Perturbation Analysis of Optimization Problems, Springer Verlag, New York.