Niveau d'un corps
Modèle:Homon En algèbre, le niveau d'un corps (commutatif) F est le nombre minimum de termes dans une décomposition de –1 en somme de carrés si de telles décompositions existent, et l'infini sinon (c'est-à-dire si F est formellement réel). On le note s(F), la lettre s étant l'initiale du mot allemand Modèle:Lang. Albrecht Pfister a démontré que lorsque le niveau est fini, c'est une puissance de 2 et que réciproquement, toute puissance de 2 est le niveau d'un corps[1].
Puissances de 2
Si s(F) ≠ [[Infini (symbole)|Modèle:Math]], il existe[1]Modèle:,[2] un entier naturel k tel que s(F) = 2Modèle:Exp.
Modèle:Démonstration/début Soient s l'entier s(F), k l'entier tel que 2Modèle:Exp ≤ s < 2Modèle:Exp et n l'entier 2Modèle:Exp. Il existe des éléments non nuls Modèle:Math de F tels que
Les éléments Modèle:Math et Modèle:Math sont tous deux des sommes de n carrés donc — d'après la théorie des Modèle:Lien — leur produit Modèle:Math aussi, c'est-à-dire qu'il existe des éléments Modèle:Math de F tels que
Comme Modèle:Math est non nul par définition de k, on en déduit
si bien que s(F) = n = 2Modèle:Exp. Modèle:Démonstration/fin
Caractéristique non nulle
Si F est de caractéristique p > 0 alors[3] s(F) ≤ 2. Modèle:Démonstration/début Si p = 2 alors –1 = 1 = 1Modèle:2 donc s(F) = 1.
Si p > 2, le sous-corps premier de F est le corps fini FModèle:Ind. L'ensemble S des carrés d'éléments de FModèle:Ind est de cardinal (p + 1)/2 donc l'ensemble –1 – S aussi, si bien que leur intersection est un singleton donc est non vide : il existe deux éléments x et y de FModèle:Ind tels que xModèle:2 = –1 – yModèle:2 donc –1 = xModèle:2 + yModèle:2. Modèle:Démonstration/fin
Propriétés
Le niveau s(F) d'un corps F est relié à son nombre de Pythagore p(F) par[4] p(F) ≤ s(F) + 1 et même, si F n'est pas formellement réel[5]Modèle:,[6], s(F) ≤ p(F) ≤ s(F) + 1.
L'ordre additif de la forme (1) — donc l'exposant du groupe de Witt de F — est égal à[7]Modèle:,[8] 2s(F).
Exemples
- Le niveau d'un corps quadratiquement clos est[8] 1.
- Le niveau d'un corps de nombres est Modèle:Math, 1, 2 ou 4 (« théorème de Siegel »)[9]. Des exemples sont respectivement[7] ℚ et les corps quadratiques ℚ(Modèle:Sqrt), ℚ(Modèle:Sqrt) et ℚ(Modèle:Sqrt).
- Le niveau du corps fini FModèle:Ind est[3]Modèle:,[8]Modèle:,[10] 1 si q ≡ 1 mod 4 et 2 si q ≡ 3 mod 4.
- Si F est un corps local dont le corps résiduel k est de caractéristique impaire alors s(F) = s(k). Le niveau du corps ℚModèle:Ind des nombres 2-adiques est[9] 4.
Notes et références
Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références
Bibliographie
- ↑ 1,0 et 1,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Ouvrage.
- ↑ 3,0 et 3,1 Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Harvsp.
- ↑ 7,0 et 7,1 Modèle:Ouvrage.
- ↑ 8,0 8,1 et 8,2 Modèle:Harvsp.
- ↑ 9,0 et 9,1 Modèle:Harvsp.
- ↑ Modèle:Article. Pour une preuve plus simple, il suffit de faire le même raisonnement que dans la preuve du critère d'Euler, en utilisant que le groupe multiplicatif de FModèle:Ind est cyclique.