Nombre carré triangulaire

En mathématiques, un nombre triangulaire carré est un nombre triangulaire qui est de plus carré. Il y a une infinité de tels nombres.

Ils s'écrivent sous la forme

$N_k=\frac{{({(1+\sqrt{2})}^{2k}-{(1-\sqrt{2})}^{2k})}^2}{32}=\frac{{({(3+2\sqrt{2})}^k-{(3-2\sqrt{2})}^k)}^2}{32},k\in {\mathbb{N}}^{*}.$

Par exemple,

$N_2=36=6^2=\frac{8\times 9}{2}$

.

La suite $(N_k)$ est répertoriée comme Modèle:OEIS, et si l'on pose $N_k=\frac{t_k(t_k+1)}{2}=s_k^2$, les suites $(t_k)$ et $(s_k)$ sont respectivement répertoriées comme Modèle:OEIS et comme Modèle:OEIS.

Démonstration

Le problème se ramène à la résolution d'une équation diophantienne de la manière suivanteModèle:,Modèle:,.

Tout nombre triangulaire est de la forme t(t + 1)/2. On recherche donc les entiers t et s tels que t(t + 1)/2 = sModèle:2, c'est-à-dire, en posant x = 2t + 1 et y = 2s, les solutions de l'équation de Pell-Fermat

$x^2-2y^2=1.$

Les solutions sont données par

soit

On trouve donc

d'où la valeur annoncée pour Modèle:Math.

Valeurs numériques

k	NModèle:Ind	sModèle:Ind	tModèle:Ind	tModèle:Ind/sModèle:Ind
1	1	1	1	1
2	36	6	8	1,3…
3	1 225	35	49	1,4
4	41 616	204	288	1,411…
5	1 413 721	1 189	1 681	1,413…
6	48 024 900	6 930	9 800	1,4141…
7	1 631 432 881	40 391	57 121	1,41420…
8	55 420 693 056	235 416	332 928	1,414211…
9	1 882 672 131 025	1 372 105	1 940 449	1,4142132…

Propriétés

• Lorsque $k$ tend vers l'infini, le rapport

tend vers la racine carrée de deux et

• Les suites $(t_k+1/2)$ et $(s_k)$ vérifient la relation de récurrence linéaire double : $u_{k+2}=6u_{k+1}-u_k$.

Équations diophantiennes apparentées

Nombres triangulaires égaux au double d'un nombre triangulaire

L'équation diophantienne s'écrit : (2) $\frac{p(p+1)}{2}=q(q+1)$.

En posant $\{\begin{array}{c}p=2s-t-1\\ q=t-s\end{array}$, on retombe sur l'équation (1) $\frac{t(t+1)}{2}=s^2$.

Les solutions de (2) sont donc données par $\{\begin{array}{c}{p}_k=2s_k-t_k-1=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^{2k-1}-(\sqrt{2}-1{)}^{2k-1}-2}{4}\\ q_k=t_k-s_k=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^{2k-1}+(\sqrt{2}-1{)}^{2k-1}-2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}\end{array}$.

La suite $(p_k)$ débute par : 0, 3, 20, 119, 696, 4059, 23660, 137903, 803760, 4684659 ; Modèle:OEIS.

La suite $(q_k)$ débute par : 0, 2, 14, 84, 492, 2870, 16730, 97512, 568344, 3312554 ; Modèle:OEIS.

L'équation (2) possède une jolie interprétation concrète : il s'agit de déterminer dans quels cas une formation triangulaire d'oiseaux migrateurs peut se séparer en deux formations triangulaires identiques.

Nombres carrés centrés qui sont aussi des carrés

Il s'agit de l'équation (3) $(n-1{)}^2+n^2=m^2$. Comme $m$ est forcément impair, on peut poser $m=2q+1$ et l'équation (3) s'écrit alors $n(n-1)=2q(q+1)$, ce qui redonne l'équation (2) en posant $n=p+1$.

Les solutions de (3) sont donc données par $\{\begin{array}{c}{n}_k=p_k+1=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^{2k-1}-(\sqrt{2}-1{)}^{2k-1}+2}{4}\\ m_k=2q_k+1=\frac{(\sqrt{2}+1{)}^{2k-1}+(\sqrt{2}-1{)}^{2k-1}}{2\sqrt{2}}\end{array}$.

La suite $(m_k)$ débute par : 1, 5, 29, 169, 985, 5741, 33461, 195025, 1136689, 6625109 ; Modèle:OEIS.

Remarquons que résoudre l'équation (3) revient à rechercher les triplets pythagoriciens dont les deux premiers termes sont consécutifs.

Notes et références

Modèle:Traduction/Référence, renommé [[:en:Talk:Square triangular number#Square triangular number|« Modèle:Lang » en août 2005]]. Modèle:Références