Nombre de Markstein

Dans les études de combustion le nombre de Markstein a été introduit par George H. Markstein en 1951 pour donner un critère de déclenchement de l'instabilité de Darrieus-Landau. Il est le rapport entre la longueur de Markstein, en l'occurrence la longueur d'onde sonore utilisée pour agir sur la flamme, et l'épaisseur de celle-ci :

$ℳ=\frac{ℒ}{{\delta }_L}$

où $ℒ$ est la longueur de Markstein et ${\delta }_L$ est l'épaisseur caractéristique de la flamme laminaire.

D'une façon plus générale la longueur de Markstein $ℒ$ caractérise la topologie du front de flamme, étirement et courbure, phénomènes agissant sur la vitesse de combustion. Il est donc possible de définir plusieurs nombres de Markstein, chacun lié à un phénomène.

Formule de Clavin–Williams

Le nombre de Markstein relatif au mélange de gaz non brûlés a été dérivé par Paul Clavin et Forman Williams en 1982, en utilisant l'asymptotique des grandes énergies d'activationModèle:,. La formule a été étendue pour inclure la dépendance en température des conductivités thermiques par Paul Clavin et Pedro Luis Garcia Ybarra en 1983. La formule de Clavin-Williams est donnée parModèle:, :

$ℳ=\frac{r}{r-1}𝒥+\frac{\beta (L{e}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}-1)}{2(r-1)}ℐ$

où

$𝒥=\underset{1}{\overset{r}{\int }}\frac{\lambda (\theta )}{\theta }d\theta ,ℐ=\underset{1}{\overset{r}{\int }}\frac{\lambda (\theta )}{\theta }\ln \frac{r-1}{\theta -1}d\theta$

Ici

$r=\frac{{\rho }_u}{\rho }>1$	est le coefficient de détente défini par le rapport des masses volumiques ;
$\beta$	est le nombre de Zeldovitch ;
$L{e}_{\mathrm{e}\mathrm{f}\mathrm{f}}$	est le nombre de Lewis effectif du réactif en quantité inférieure à la stœchiométrie (carburant ou comburant ou une combinaison des deux) ;
$\lambda (\theta )=\rho D_T/{\rho }_u{D}_{T,u}$	est le rapport du produit masse volumique-conductivité thermique à sa valeur dans le gaz imbrûlé ;
$\theta =T/T_u$	est le rapport entre la température et celle dans du gaz imbrûlé, défini de telle sorte que $1\le \theta \le r$.

La fonction $\lambda (\theta )$, dans la plupart des cas, est simplement donnée par $\lambda ={\theta }^n$, où $n\approx 0.7$, auquel cas nous avons :

$𝒥=\frac{1}{n}(r^n-1),ℐ=\frac{1}{n}(r^n-1)\ln (r-1)-\underset{1}{\overset{r}{\int }}{\theta }^{n-1}\ln (\theta -1)d\theta$

Dans l'hypothèse du coefficient de transport constant, $\lambda =1$, auquel cas :

$𝒥=\ln r,ℐ=-{\mathrm{Li}}_2(1-r)$

où ${\mathrm{Li}}_2$ est le dilogarithme.

Deuxième nombre de Markstein

En général, le nombre de Markstein pour les effets de courbure ${ℳ}_c$ et les effets de déformation ${ℳ}_s$ ne sont pas les mêmes dans les flammes réellesModèle:, Dans ce cas, on définit un deuxième nombre de Markstein comme :

${ℳ}_2={ℳ}_c-{ℳ}_s$

Voir aussi

• Équation G