Nombre de Tamagawa

En mathématiques, le nombre Tamagawa $\tau (G)$ d'un groupe algébrique semi-simple défini sur un corps global Modèle:Formule est la mesure de $G(𝔸)/G(k)$, où $𝔸$ est l'anneau adélique de Modèle:Formule. Les nombres Tamagawa ont été introduits par Tamagawa, et nommé en son honneur par André Weil.

L'observation de Tsuneo Tamagawa est la suivante. À partir d'une forme différentielle invariante ω sur Modèle:Formule, définie sur Modèle:Formule, la mesure impliquée était bien définie : la mesure de Modèle:Formule avec Modèle:Formule un élément non nul de $k$, la formule de produit pour les valuations sur Modèle:Formule implique l'indépendance en Modèle:Formule de la mesure du quotient. Le calcul des nombres de Tamagawa pour les groupes semi-simples contient des parties importantes de la théorie classique formes quadratiques.

Définition

Soit Modèle:Formule un corps global, Modèle:Formule son anneau adélique, et Modèle:Formule un groupe algébrique semi-simple défini sur Modèle:Formule.

On choisit des mesures de Haar sur les complétions Modèle:Formule telles que Modèle:Formule ait un volume 1 pour tous les places Modèle:Formule sauf pour un nombre fini. Celles-ci induisent alors une mesure de Haar sur Modèle:Formule, que nous supposons en outre normalisée de sorte que Modèle:Formule soit de volume 1 par rapport à la mesure du quotient induite.

La mesure de Tamagawa sur le groupe algébrique adélique Modèle:Formule est définie comme suit. Soit une Modèle:Formule -forme Modèle:Formule invariante à gauche sur Modèle:Formule définie sur Modèle:Formule, où Modèle:Formule est la dimension de Modèle:Formule en tant que variété algébrique. Ceci, combiné aux choix ci-dessus de mesure de Haar sur Modèle:Formule, induit des mesures de Haar sur Modèle:Formule pour toutes places Modèle:Formule. Comme Modèle:Formule est semi-simple, le produit de ces mesures donne une mesure de Haar sur Modèle:Formule, appelée mesure de Tamagawa. La mesure Tamagawa ne dépend pas du choix de ω, ni du choix des mesures sur les Modèle:Formule, car multiplier Modèle:Formule par un élément de Modèle:Formule multiplie la mesure de Haar sur Modèle:Formule par 1.

La conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa

La conjecture de Weil sur les nombres de Tamagawa énonce que le nombre de Tamagawa Modèle:Formule d'un groupe algébrique simple et simplement connexe (c'est-à-dire n'ayant pas de revêtement algébrique propre) défini sur un corps de nombres vaut 1. Weil (1959) a calculé le nombre de Tamagawa dans de nombreux cas de groupes classiques et a observé qu'il était entier dans tous les cas considérés et égal à 1 dans les cas où le groupe est simplement connexe. Ono (1963) a trouvé des exemples où les nombres Tamagawa ne sont pas entiers, mais la conjecture sur le nombre Tamagawa de groupes simplement connectés a été prouvée en général par plusieurs travaux aboutissant à un article de Kottwitz (1988) et l'analogue sur les corps de fonctions sur les corps finis par Lurie et Gaitsgory en 2011Modèle:Sfn.

Références

• Modèle:Springer
• Modèle:Ouvrage.
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Lectures complémentaires

• Aravind Asok, Brent Doran et Frances Kirwan, « Théorie de Yang-Mills et nombres Tamagawa : la fascination des liens inattendus en mathématiques », 22 février 2013
• J. Lurie, La formule de masse Siegel, les nombres Tamagawa et la dualité nonabélienne de Poincaré publié le 8 juin 2012.