Nombre hautement composé supérieur

Un nombre hautement composé supérieur est un entier naturel non nul qui a plus de diviseurs que n'importe quel autre entier relativement à une puissance du nombre lui-même. Cette définition a été formulée par Srinivasa Ramanujan en 1915.

Il s'agit d'une condition plus restrictive que celle d'un nombre hautement composé défini comme un entier strictement positif qui a strictement plus de diviseurs que les nombres qui le précèdent.

Définition

Un nombre $n$ est dit hautement composé supérieur, s'il existe un réel positif $\lambda$ tel que :

• pour tout entier naturel $k$ inférieur à $n$ : $\frac{{\sigma }_0(n)}{n^{\lambda }}\ge \frac{{\sigma }_0(k)}{k^{\lambda }}$
• pour tout entier naturel $k$ strictement supérieur à $n$ : $\frac{{\sigma }_0(n)}{n^{\lambda }}>\frac{{\sigma }_0(k)}{k^{\lambda }}$

où ${\sigma }_0$ est la fonction "nombre de diviseurs" qui à tout entier naturel non nul associe le nombre de ses diviseurs.

Liste

Les dix premiers nombres hautement composés supérieurs sont les suivants :

Nombre hautement composé supérieur (Modèle:OEIS)	2	6	12	60	120	360	2520	5040	55 440	720 720
Nombre de diviseurs positifs	2	4	6	12	16	24	48	60	120	240
Décomposition en facteurs premiers	2	2 ⋅ 3	22 ⋅ 3	22 ⋅ 3 ⋅ 5	23 ⋅ 3 ⋅ 5	23 ⋅ 32 ⋅ 5	23 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11	24 ⋅ 32 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 11 ⋅ 13
Décomposition en produit de primorielles	2	6	2 ⋅ 6	2 ⋅ 30	22 ⋅ 30	2 ⋅ 6 ⋅ 30	2 ⋅ 6 ⋅ 210	22 ⋅ 6 ⋅ 210	22 ⋅ 6 ⋅ 2310	22 ⋅ 6 ⋅ 30030

On remarque que les 15 premiers nombres hautement composés supérieurs c'est-à-dire 2, 6, 12, 60, 120, 360, 2520, 5040, 55440, 720720, 1441440, 4324320, 21621600, 367567200 et 6983776800 sont aussi les 15 premiers nombres colossalement abondants.

Propriétés

Modèle:Section vide ou incomplète Tout nombre hautement composé supérieur est aussi un nombre hautement composé, la réciproque n'étant pas vraie.

Bases hautement composées supérieures

Les premiers nombres hautement composés supérieurs ont souvent été utilisés comme base de système de numération, du fait de leur important nombre de diviseurs par rapport à leur taille. On peut citer :

• le système binaire : base 2
• le système sénaire : base 6
• le système duodécimal : base 12
• le système sexagésimal : base 60

En outre 360 est le nombre de degrés dans un tour complet.

Bibliographie

• Chapitre IV : «Superior Highly Composite Numbers», p. 389 et suivantes dans :

  Modèle:Article Réimp. dans Collected Papers (Ed. G. H. Hardy et al.), New York: Chelsea, pp. 78–129, 1962

Voir aussi

Articles connexes

• Table des diviseurs