Nombre icosaédrique centré

Un nombre icosaédrique centré est un nombre figuré polyédrique centré comptant des points répartis dans un icosaèdre régulier par couches successives à partir du centre. Il existe deux versions de ces nombres suivant que les faces sont centrées ou non.

Première version, faces centrées

Avec $n$ points dans chaque arête de l'icosaèdre, le nombre icosaédrique centré (à faces centrées) est donné par la formule :

$I{C}_n=(2n-1)(5n^2-5n+1)$

Il est égal au nombre dodécaédrique centré (à faces centrées).

Les premiers de ces nombres sont 1, 33, 155, 427, 909, 1661, 2743, 4215, 6137, 8569, ... (Modèle:OEIS).

Par exemple, $I{C}_2=33$ car il y a 12 points sur les sommets, 20 aux centres des faces, et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre

L'icosaèdre ayant 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes, la couche icosaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $20C_{3,n-1}$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $C_{3,n-1}$ est le nombre triangulaire centré avec $n-1$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 12 points situés aux sommets. On a donc $I{C}_n-I{C}_{n-1}=20(3(n-1{)}^2-3(n-1)+2)/2+30(n-2)+12=2(15(n-1{)}^2+1)$.

Partant de $I{C}_1=1$, on obtient $I{C}_n=1+2\sum _{k=2}^n(15(k-1{)}^2+1)=(2n-1)(5n^2-5n+1)$.

Deuxième version, faces non centrées

Avec $n$ points dans chaque arête de l'icosaèdre, le nombre icosaédrique centré (à faces non centrées) est donné par la formule :

$IC{\text{'}}_n=\frac{1}{3}(2n-1)(5n^2-5n+3)$.

Les premiers de ces nombres sont 1, 13, 55, 147, 309, 561, 923, 1415, 2057, 2869, 3871, 5083, 6525, 8217, ... (suite A005902 de l'OEIS).

Par exemple, $IC{\text{'}}_2=13$ car il y a 12 points sur les sommets et 1 au centre du polyèdre.

Obtention de ce nombre

L'icosaèdre ayant 20 faces, 12 sommets et 30 arêtes, la couche icosaédrique ajoutée à l'étape $n$ possède $20(P_{3,n}-3(n-1))$ points correspondants aux intérieurs des faces ( $P_{3,n}$ est le nombre triangulaire non centré avec $n$ points sur chaque côté), plus $30(n-2)$ points situés à l'intérieur des arêtes, plus 12 points situés aux sommets. On a donc $IC{\text{'}}_n-IC{\text{'}}_{n-1}=20(\frac{n^2+n}{2}-3(n-1))+30(n-2)+12=10n^2-20n+12=2(5(n-1{)}^2+1)$.

Partant de $IC{\text{'}}_1=1$, on obtient $IC{\text{'}}_n=1+2\sum _{k=2}^n(5(k-1{)}^2+1)=\frac{1}{3}(2n-1)(5n^2-5n+3)$.