Nombre premier cubain

En mathématiques, dans leur généralité, les nombres premiers cubains sont les nombres premiers de la forme:

$p=\frac{x^3-y^3}{x-y}=x^2+xy+y^2$ où $x>y>0$ sont des entiers.

Leur nom vient de ce que leur forme fait intervenir des cubes Modèle:,.

Première espèce

Lorsque $x=y+1$, on obtient les nombres premiers de la formeModèle:, :

$p=(y+1{)}^3-y^3=3y^2+3y+1$ avec $y>0,$

autrement dit les nombres premiers différences de deux cubes consécutifs. Ce sont donc les nombres hexagonaux centrés premiers.

Ils forment la Modèle:OEIS : Modèle:Math etc.

Écrivant $3y^2+3y+1$ sous la forme canonique $\frac{3(2y+1{)}^2+1}{4}$, on voit que les nombres premiers cubains de première espèce sont les nombres premiers $p$ tels que $4p=3n^2+1$ où $n$ est impair. On conjecture qu'il y a une infinité de nombres de ce type.

En Modèle:Date-, le plus grand nombre premier cubain de première espèce connu, obtenu pour $y=3^{3304301}-1$, comportait Modèle:Unité.

Seconde espèce

Lorsque $x=y+2$, on obtient les nombres premiers de la forme :

$p=\frac{(y+2{)}^3-y^3}{2}=3y^2+6y+4=3(y+1{)}^2+1$ avec $y>0,$

autrement dit, les nombres premiers de la forme $3n^2+1$ où $n$ est forcément pair ; ils forment la Modèle:OEIS : Modèle:Math etc. , correspondant aux valeurs de $n$ successives : 2, 6, 8, 12, 16, 20,... (Modèle:OEIS).

Articles connexes

• Liste de suites de nombres premiers