Liste de suites de nombres premiers

Modèle:Article principal Certains nombres premiers peuvent appartenir à diverses catégories de nombres remarquables.

Autrement dit, des suites (finies ou infinies) de nombres premiers ayant des propriétés particulières communes peuvent être établies, au sein de l'ensemble infini des nombres premiers^[1].

Le présent article s'intéresse aux suites de nombres premiers appartenant à diverses catégories remarquables pour leur intérêt mathématique ou parfois ludique.

Il existe des formules qui donnent exclusivement des nombres premiers (nombres de Mills).

Nombre premier d'une classe de congruence

Nombre premier lié aux puissances de 2

Nombre de Fermat premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $F_{n} : = 2^{2^{n}} + 1$ , avec $n$ entier naturel. On n'en connait que cinq : $F_{0}, \dots, F_{4}$ .

Nombre de Mersenne premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $M_{p} = 2^{p} - 1$ .

Voir aussi : Nombre double de Mersenne (seulement quatre premiers connus : Modèle:Math), et Nombre de Catalan-Mersenne (seulement cinq : Modèle:Math).

Nombre premier de Pierpont

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $2^{u} 3^{v} + 1$ .

Nombre de Proth premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $k 2^{n} + 1$ , avec $0 < k < 2^{n}$ .

Nombre de Thebit premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $3 \times 2^{n} - 1$ .

Nombre premier de Wagstaff

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $\frac{2^{n} + 1}{3}$ .

Nombre premier de Wieferich

Modèle:Article détaillé Premier p tel que pModèle:2 divise 2Modèle:Exp – 1 (d'après le petit théorème de Fermat, tout nombre premier Modèle:Math divise le nombre 2Modèle:Exp – 1).

Les seuls nombres premiers de Wieferich connus sont [[Nombres 1 000 à 1 999|Modèle:Math]] et [[Nombres 3 000 à 3 999|Modèle:Math]]. On ignore si l'ensemble des nombres premiers de Wieferich est fini ou infini.

Nombre de Woodall premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $n 2^{n} - 1$ .

Nombre de Cullen premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $n 2^{n} + 1$ .

Nombre premier extrait d'une suite récurrente linéaire

Nombre premier de Fibonacci

Modèle:Article détaillé Nombre à la fois premier et de Fibonacci.

Nombre premier de Lucas

Modèle:Article détaillé Nombre à la fois premier et de Lucas.

Nombre de Pell premier

Nombre à la fois premier et de Pell.

Nombre de Newman-Shanks-Williams premier

Nombre à la fois premier et de Newman-Shanks-Williams.

Nombre de Perrin premier

Nombre à la fois premier et de Perrin.

n-uplet de nombres premiers distants d'écarts constants

Couple

Les suites suivantes concernent les couples de deux nombres premiers (non nécessairement consécutifs) de la forme Modèle:Math, où l'écart Modèle:Mvar est un entier strictement positif.

Écart impair

Pour chaque Modèle:Mvar impair, il existe au plus un couple (donc pas du tout ou pas vraiment de suite de couples) de nombres premiers distants d'écart Modèle:Mvar : le couple Modèle:Math, si Modèle:Math est premier.

Écart pair

n-uplets suivants

Triplet de nombres premiers de la forme Modèle:Nobr ou Modèle:Math.
Quadruplet de nombres premiers de la forme Modèle:Math.
Quintuplet de nombres premiers de la forme Modèle:Nobr ou Modèle:Nobr
Sextuplet de nombres premiers de la forme Modèle:Nobr

Nombre combinatoire premier

Nombre de Bell premier

Modèle:Article détaillé Premier égal au nombre de partitions d'un ensemble fini.

Nombre premier factoriel

Modèle:Article détaillé Premier de la forme n! ± 1.

Nombre premier primoriel

Modèle:Article détaillé Premier de la forme p_n# ± 1.

Nombre d'Euclide premier

Modèle:Article détaillé Premier de la forme pModèle:Ind# + 1.

Nombre de Motzkin premier

Modèle:Article détaillé Premier égal au nombre de façons de tracer des cordes non sécantes entre n points d'un cercle.

Bon nombre premier

Modèle:Article détaillé Premier $p_{n}$ tel que $\forall i = 1, \dots, n - 1 p_{n}^{2} > p_{n - i} p_{n + i}$ , où $p_{k}$ désigne le $k$ -ième nombre premier.

Nombre presque carré premier

Eric Weisstein propose d'appeler « nombre presque carré » un nombre de la forme $n^{2} - k$ (où, implicitement, $n$ et $k$ sont des entiers relatifs non nuls), et donne des liens vers l'OEIS, pour $k$ compris entre Modèle:Math et Modèle:Math, pour ces suites de nombres, et pour les sous-suites de ceux qui sont premiers^[2].

L'OEIS contient également des listes pour $k$ allant de Modèle:Math à Modèle:Math (Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C), et de Modèle:Math à Modèle:Math (Modèle:OEIS2C, Modèle:OEIS2C et Modèle:OEIS2C).

Exemples :

Le seul nombre premier de la forme $n^{2} - 1$ est Modèle:Math, et le seul nombre premier de la forme $n^{2} - 4$ est Modèle:Math. En effet, Modèle:Math et Modèle:Math sont des carrés parfaits ; on peut donc écrire $n^{2} - k = n^{2} - b^{2} = (n - b) (n + b)$ . Ce produit est un nombre premier si et seulement si : $n = b + 1$ et $2 b + 1$ est premier.
Pour $ℓ \geq 1$ , les nombres de Fermat $2^{2^{ℓ}} + 1$ , et même les nombres de Fermat généralisés $a^{2^{ℓ}} + 1$ , sont de la forme $n^{2} + 1$ .
Pour $ℓ \geq 0$ , les nombres de Carol $(2^{ℓ} - 1)^{2} - 2$ et les nombres de Kynea $(2^{ℓ} + 1)^{2} - 2$ sont de la forme $n^{2} - 2$ .

Nombre chanceux premier

Modèle:Article détaillé

Nombre premier de Chen

Modèle:Article détaillé Premier p tel que p + 2 est premier ou semi-premier (c'est-à-dire le produit de deux nombres premiers).

En 1966, Jingrun Chen a démontré qu'il existe une infinité de tels nombres premiers.

Nombre premier cubain

Modèle:Article détaillé Premier de la forme $\frac{x^{3} - y^{3}}{x - y} = x^{2} + x y + y^{2}$ (le nom «cubain» vient des cubes)^[3]Modèle:,^[4], avec $x > y > 0$ entiers, et en particulier $x$ égal à $y + 1$ ou à $y + 2$ .

Nombre premier équilibré

Modèle:Article détaillé Nombre premier situé à égale distance des premiers précédent et suivant.

Nombre fortuné premier

Modèle:Article détaillé Pour tout entier $n \geq 1$ , le $n$ -ième nombre fortuné (Modèle:OEIS) est l'entier $m$ défini par : $p_{n} # + m$ est le plus petit nombre premier strictement supérieur au nombre d'Euclide $p_{n} # + 1$ .

On conjecture que tout nombre fortuné est premier.

Nombre premier harmonique

Pour tout premier $p > 3,$ le numérateur du $n$ -ième nombre harmonique $H_{n}$ est divisible par $p$ au moins pour les trois valeurs $n = p - 1, n = p^{2} - p, n = p^{2} - 1 .$ Le nombre premier $p$ est dit harmonique si ces trois valeurs sont les seules.

Les nombres premiers harmoniques sont 5, 13, 17, 23, 41, 67, etc. (Modèle:OEIS). On conjecture qu'il en existe une infinité^[5]Modèle:,^[6].

Nombre premier de Higgs

Modèle:Article détaillé Premier $p$ pour lequel $p - 1$ divise le carré du produit de tous les nombres premiers de Higgs inférieurs.

Nombre premier long

Modèle:Article détaillé Premier $p$ tel que dans une base donnée $b$ non divisible par $p$ , l'entier $\frac{b^{p - 1} - 1}{p}$ soit cyclique.

Nombre de Markov premier

Modèle:Article détaillé Premier $p$ pour lequel il existe des entiers $x$ et $y$ tels que $x^{2} + y^{2} + p^{2} = 3 x y p$ .

Nombre premier de Pillai

Modèle:Article détaillé Premier $p$ pour lequel il existe un entier $n$ tel que $p$ divise $n! + 1$ et $n$ ne divise pas $p - 1$ .

Nombre premier de Ramanujan

Modèle:Article détaillé Le n-ième nombre premier de Ramanujan est le plus petit entier à partir duquel la fonction « nombre de nombres premiers entre $\frac{x}{2}$ et $x$ » est minorée par $n$ . Modèle:Pas clair

Nombre premier régulier

Modèle:Article détaillé Nombre premier $p > 2$ ne divisant pas le nombre de classes du corps cyclotomique ℚ(ζ_p). Les nombres premiers impairs non réguliers sont dits irréguliers.

Nombre premier de Sophie Germain

Modèle:Article détaillé Premier $p$ tel que $2 p + 1$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier sûr.

Nombre premier de Stern

Modèle:Article détaillé Premier qui n'est pas de la forme $p + 2 b^{2}$ avec $p$ premier et $b$ entier non nul. Les huit connus (2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493) sont peut-être les seuls.

Nombre premier supersingulier

Modèle:Article détaillé Premier correspondant à une courbe elliptique ayant des propriétés exceptionnelles.

Il en existe exactement quinze : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 et 71.

Nombre premier sûr

Modèle:Article détaillé Premier $p$ tel que $\frac{p - 1}{2}$ soit aussi premier, ce dernier étant alors appelé un nombre premier de Sophie Germain.

Nombre premier unique

Modèle:Article détaillé Premier $p$ pour lequel la période du développement décimal de $\frac{1}{p}$ est unique (aucun autre premier ne donne la même).

Nombre premier de Wall-Sun-Sun

Modèle:Article détaillé Premier Modèle:Mvar dont le carré divise Modèle:Math. On ignore s'il en existe.

Paire de Wieferich

Modèle:Article détaillé Une paire de nombres premiers $q < p$ est dite de Wieferich si $q^{p - 1}$ ≡ $1 (mod p^{2}),$ et doublement de Wieferich si de plus $p^{q - 1}$ ≡ $1 (mod q^{2}) .$

Nombre premier de Wilson

Modèle:Article détaillé Premier p tel que pModèle:2 divise (p – 1)! + 1.

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wilson, mais on n'en connaît que trois : 5, 13 et 563 (Modèle:OEIS).

Nombre premier de Wolstenholme

Modèle:Article détaillé Premier Modèle:Mvar pour lequel le coefficient binomial $(\binom{2 p - 1}{p - 1})$ est [[Congruence sur les entiers|congru à 1 mod pModèle:4]].

On conjecture qu'il existe une infinité de nombres premiers de Wolstenholme, mais on n'en connaît que deux : [[Nombres 10 000 à 99 999|Modèle:Math]] et Modèle:Math.

Nombre premier extrait d'une constante

Nombre premier de Mills

Modèle:Article détaillé Partie entière de $θ^{3^{n}}$ pour un entier n > 0, où θ est la constante de Mills (le plus petit réel pour lequel tous ces entiers sont premiers).

Nombre premier issu de la partie entière de puissances d'une constante

Premier égal à la partie entière, par défaut ou par excès, d'une puissance entière d'une constante égale à e^[7], π^[8], ou φ^[9].

Nombre premier issu de troncature de constante

Premier dont les $n$ chiffres sont les $n$ premiers chiffres, en base dix, d'une constante mathématique (virgule éventuelle non prise en compte)^[10].

Exemples :

Constante	Symboles usuels	Valeur approchée par défaut à 10Modèle:Exp près (suite OEIS des chiffres de l'approximation)	Nombre n de chiffres de p (suite OEIS de ces nombres)	Nombres premiers p obtenus (suite OEIS de ces nombres premiers)
Constante d'Apéry	ζ(3)	1,202 056 903 (Modèle:OEIS2C)	10, 55, … (Modèle:OEIS2C)	1 202 056 903, … (Modèle:OEIS2C)
Constante de Catalan	K ou β(2)	0,915 965 594 (Modèle:OEIS2C)	52, … (Modèle:OEIS2C)	… (Modèle:OEIS2C)
Constante de Copeland-Erdős		0,235 711 131 (Modèle:OEIS2C)	1, 2, 4, 11, … (Modèle:OEIS2C)	2, 23, 2 357, … (les nombres de Smarandache-Wellin premiers forment une sous-suite)
Constante de Néper	e	2,718 281 828 (Modèle:OEIS2C)	1, 3, 7, 85, … (Modèle:OEIS2C)	2, 271, 2 718 281, … (Modèle:OEIS2C)^[7]
Constante d'Euler-Mascheroni	γ	0,577 215 664 (Modèle:OEIS2C)	1, 3, 40, … (Modèle:OEIS2C)	5, 577, … (suite non disponible)
Constante de Glaisher-Kinkelin	A	1,282 427 129 (Modèle:OEIS2C)	7, 10, 18, … (Modèle:OEIS2C)	1 282 427, 1 282 427 129, … (Modèle:OEIS2C)
Constante de Golomb-Dickman	λ, μ	0,624 329 988 (Modèle:OEIS2C)	6, 27, … (Modèle:OEIS2C)	624 329, … (Modèle:OEIS2C)
Nombre d'or	φ	1,618 033 988 (Modèle:OEIS2C)	7, 13, … (Modèle:OEIS2C)	1 618 033, … (Modèle:OEIS2C)^[9]
Constante de Khinchin	K	2,685 452 001 (Modèle:OEIS2C)	1, 407, … (Modèle:OEIS2C)	2, … (suite non disponible)
Constante pi	π	3,141 592 653 (Modèle:OEIS2C)	1, 2, 6, 38, … (Modèle:OEIS2C)	3, 31, 314 159, … (Modèle:OEIS2C)^[8]
Constante de Pythagore	Modèle:Racine	1,414 213 562 (Modèle:OEIS2C)	55, … (Modèle:OEIS2C)	… (Modèle:OEIS2C)
Constante de Ramanujan-Soldner	μ	1,451 369 234 (Modèle:OEIS2C)	4, 144, … (Modèle:OEIS2C)	1 451, … (Modèle:OEIS2C)
Constante de Théodorus	Modèle:Racine	1,732 050 807 (Modèle:OEIS2C)	2, 3, 19, … (Modèle:OEIS2C)	17, 173, … (Modèle:OEIS2C)

Curiosités

Dans cette section, les nombres sont exprimés en base dix.

Nombre premier diédral

Premier qui le reste lorsqu'il est observé normalement ou tête en bas, en vue directe ou en réflexion dans un miroir, sur un afficheur 7 segments (le 1 est supposé être écrit à l'anglaise, comme une barre). Modèle:Refnec le groupe de symétrie du rectangle est le groupe diédral DModèle:Ind (le groupe de Klein). Ces nombres forment la Modèle:OEIS : 2, 5, 11, 101, 181, etc. Leurs seuls chiffres possibles sont 0, 1, 2, 5, et 8.

Modèle:Refnec

Nombre premier palindrome

Nombre à la fois premier et palindrome. Ces nombres forment la Modèle:OEIS : 2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, 181, 191, etc.

Nombre tétradique premier

Un nombre est dit tétradique^[11] Modèle:Pas clair si c'est un nombre palindrome n'utilisant que les chiffres 0, 1, et 8.

Ceux qui sont premiers forment la Modèle:OEIS (11, 101, 181, etc.), dont le plus grand connu, en 2010, était le nombre premier diédral de 180 055 chiffres mentionné ci-dessus.

Nombre premier permutable

Modèle:Article détaillé Premier dont toute permutation des chiffres est première, comme 13 ou 113 ou comme le répunit premier 11 (en base dix).

Reimerp

Modèle:Article détaillé Premier devenant un premier distinct lorsque ses chiffres sont inversés, comme 13 ou 107 (« reimerp » est le mot « premier » épelé à l'envers).

Nombre premier tronquable

Modèle:Article détaillé Un nombre premier est dit :

tronquable à droite s'il reste premier lorsque ses derniers chiffres sont successivement enlevés ;
tronquable à gauche s'il ne contient pas le chiffre 0 et s'il reste premier lorsque ses premiers chiffres sont successivement enlevés.

Notes et références

Notes

Modèle:Traduction/Référence

Références

Modèle:Références

Voir aussi

Liens externes

Modèle:En www.utm.edu « Prime Pages » (listes de nombres premiers)
Modèle:MathWorld

Modèle:Palette

Modèle:Portail

ca:Nombre primer#Classes de nombres primers en:List of prime numbers#Lists of primes by type es:Número primo#Clases de n.C3.BAmeros primos simple:List of prime numbers

↑ Modèle:MathWorld
↑ Modèle:MathWorld
↑ villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubains
↑ Modèle:Lien web
↑ Modèle:Article
↑ Modèle:Article
↑ ^7,0 et ^7,1 Modèle:MathWorld
↑ ^8,0 et ^8,1 Modèle:MathWorld
↑ ^9,0 et ^9,1 Modèle:MathWorld
↑ Modèle:MathWorld
↑ Modèle:MathWorld

[1] Modèle:MathWorld

[2] Modèle:MathWorld

[3] villemin.gerard.free.fr Nombres - Curiosités, théorie et usages : nombres premiers cubains

[4] Modèle:Lien web

[5] Modèle:Article

[6] Modèle:Article

[e-Prime-7] 7,0 et ^7,1 Modèle:MathWorld

[Pi-Prime-8] 8,0 et ^8,1 Modèle:MathWorld

[Phi-Prime-9] 9,0 et ^9,1 Modèle:MathWorld

[10] Modèle:MathWorld

[11] Modèle:MathWorld

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