Nombre premier de Ramanujan

En mathématiques, un nombre premier de Ramanujan est un nombre premier qui satisfait un résultat démontré par Srinivasa Ramanujan relatif à la fonction de compte des nombres premiers.

Origines et définition

En 1919, Ramanujan publia une nouvelle démonstration du postulat de Bertrand qui, dit-il, fut d'abord démontré par Tchebychev. À la fin des deux pages publiées, Ramanujan déduisit un résultat généralisé, qui est :

$\mathrm{\forall }n,\mathrm{\exists }N,x\ge N\Rightarrow \pi (x)-\pi (x/2)\ge n$ ;

en particulier :

$\pi (x)-\pi (x/2)\ge 1,2,3,4,5,\dots$ pour tout Modèle:Math (Modèle:OEIS) respectivement,

où $\pi (x)$ est la fonction de compte des nombres premiers, qui est le nombre de nombres premiers inférieurs ou égaux à Modèle:Mvar.

L'expression de ce résultat est la définition des nombres premiers de Ramanujan, et les nombres Modèle:Math sont les plus petits entiers conformes à cette définition. Autrement dit :

Le Modèle:Mvar-ième premier de Ramanujan est l'entier Modèle:Mvar le Modèle:Souligner à satisfaire la condition :

$\pi (x)-\pi (x/2)\ge n,$ pour tout Modèle:Math.

Une autre façon de formuler ce résultat est :

Les nombres premiers de Ramanujan sont les entiers Modèle:Mvar les Modèle:Souligner à garantir qu'il y a (au moins) Modèle:Mvar premiers dans Modèle:Math pour tout Modèle:Math.

Puisque Modèle:Mvar est le plus petit entier conforme à ces conditions, il doit être premier. En effet :

Pour tout entier Modèle:Mvar fixé, pour tout $x\in [m,m+1[,$ Modèle:Math contient les mêmes entiers ; donc $\pi (R_n-1)-\pi ((R_n-1)/2)<n.$ Or $\pi (R_n)-\pi (R_n/2)\ge n,$ donc $]R_n/2,R_n]$ doit contenir plus de premiers que $](R_n-1)/2,R_n-1].$ Mais il ne peut en contenir qu'un de plus : ce ne peut être que Modèle:Mvar.

Conséquence : $\pi (R_n)-\pi (R_n/2)=n.$

Par exemple, le nombre de nombres premiers dans Modèle:Math est trois (ce sont Modèle:Math). Mais Modèle:Math n'est pas le troisième nombre de Ramanujan, car dans Modèle:Math, il n'y a que deux nombres premiers (ce sont Modèle:Math). Ce n'est qu'à partir de Modèle:Math qu'il y a toujours au moins trois nombres premiers dans Modèle:Math, donc Modèle:Math.

Liste de nombres premiers de Ramanujan

Les plus petits termes de la suite des nombres premiers de Ramanujan sont :

2, 11, 17, 29, 41, 47, 59, 67, 71, 97, 101, 107, 127, 149, 151, 167, 179, 181, 227, 229, 233, 239, 241, 263, 269, 281, 307, 311, 347, 349, 367, 373, 401, 409, 419, 431, 433, 439, 461, 487, 491, ... (Modèle:OEIS).

Inégalités et équivalences

• Pour tout Modèle:Math,

Modèle:Math.

• Pour tout Modèle:Math,

Modèle:Math,

où Modèle:Mvar est le Modèle:Mvar-ième nombre premier.

• Si Modèle:Mvar tend vers l'infini, Modèle:Mvar est équivalent au Modèle:Math-ième premier, Modèle:Cad :

Modèle:Math ;

et donc, en utilisant le théorème des nombres premiers,

Modèle:Math.

Tous ces résultats sont démontrés dans l'ouvrage "Ramanujan primes and Bertrand's postulate", sauf l'inégalité Modèle:Math ci-dessus, qui fut conjecturée par Jonathan Sondow et démontrée par Shanta Laishram en 2010.

Voir aussi

Articles connexes

• Nombre premier
• Liste de nombres premiers