Nombre superparfait

En arithmétique, un nombre superparfait est un entier strictement positif Modèle:Mvar tel que

${\sigma }^2(n)=\sigma (\sigma (n))=2n$,

où Modèle:Mvar est la fonction somme des diviseurs. Les nombres superparfaits sont une généralisation des nombres parfaits. Le terme a été inventé par D. Suryanarayana (1969).

Les premiers nombres superparfaits sont :

2, 4, 16, 64, 4096, 65536, 262144, 1073741824Modèle:Etc. Modèle:OEIS

Pour illustrer : on peut voir que 16 est un nombre superparfait car σ(16) = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31, et σ(31) = 1 + 31 = 32, donc σ(σ(16) ) = 32 = 2 × 16.

Si n est un nombre superparfait pair, alors n doit être une puissance de 2, disons 2^k, telle que le nombre de Mersenne 2 ^k+1 − 1 soit premier.

On ne sait pas s'il existe des nombres superparfaits impairs. Un nombre superparfait impair n devrait être un nombre carré tel que n ou σ(n) soit divisible par au moins trois nombres premiers distincts. Il n'y a pas de nombres superparfaits impairs en dessous de 7 Modèle:X10.

Généralisations

Les nombres parfaits et superparfaits sont des exemples de la classe plus large des nombres m-superparfaits, qui satisfont

${\sigma }^m(n)=2n,$

correspondant à m = 1 et 2 respectivement. Pour m ≥ 3 il n'y a pas de nombres m-superparfaits.

Les nombres m-superparfaits sont à leur tour des exemples de nombres (m, k)-parfaits qui satisfont

${\sigma }^m(n)=kn$.

Avec cette notation, les nombres parfaits sont (1, 2)-parfaits, les nombres multiparfaits sont (1, k)-parfaits, les nombres superparfaits sont (2, 2)-parfaits et les nombres m -superparfaits sont (m, 2)-parfaits.

Bibliographie

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