Noyau de Szegő

Dans l'étude mathématique des fonctions de plusieurs variables complexes, le noyau de Szegő est un noyau intégral qui donne naissance à un noyau de reproduction sur un espace de Hilbert naturel de fonctions holomorphes. Il doit son nom à son découvreur, le mathématicien hongrois Gábor Szegő .

Soit Ω un domaine borné de Cⁿ, avec une frontière C², et soit A(Ω) l'ensemble des fonctions holomorphes dans Ω qui sont continues sur Modèle:Surligner. Définissons l'espace de Hardy H²(∂Ω) comme la fermeture, dans L²(∂Ω) des restrictions des éléments de A(Ω) à la frontière. L'intégrale de Poisson implique que chaque élément ƒ de H²(∂Ω) s'étend en une fonction holomorphe P ƒ dans Ω. De plus, pour chaque z ∈ Ω, l'application

$f\mapsto Pf(z)$

définit une forme linéaire continue sur H²(∂Ω). Par le théorème de représentation de Riesz, cette forme linéaire est représentée par un noyau kModèle:Ind, c'est-à-dire

$Pf(z)=\underset{\partial \mathrm{\Omega }}{\int }f(\zeta )\overline{k_z(\zeta )}d\sigma (\zeta ).$

Le noyau de Szegő est défini par

$S(z,\zeta )=\overline{k_z(\zeta )},z\in \mathrm{\Omega },\zeta \in \partial \mathrm{\Omega }.$

Comme son cousin voisin, le noyau de Bergman, le noyau de Szegő est holomorphe en z. En fait, si φ_i est une base orthonormée de H²(∂Ω) constituée entièrement des restrictions de fonctions dans A(Ω), alors une application du théorème de Riesz-Fischer montre que

$S(z,\zeta )=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_i(z)\overline{{\varphi }_i(\zeta )}.$

Notes et références

• Modèle:Ouvrage