Octaèdre tronqué

Développement de l'octaèdre tronqué.

L'octaèdre tronqué, ou tétrakaidécaèdre d'Archimède, est un polyèdre possédant 8 faces hexagonales régulières, Modèle:Nobr carrées, Modèle:Nobr identiques et Modèle:Nobr égales. Ses faces étant des polygones réguliers se rencontrant en des sommets identiques, l'octaèdre tronqué est un solide d'Archimède. Chaque face ayant un centre de symétrie, c'est aussi un zonoèdre (à six générateurs).

Comme le cube, l'octaèdre tronqué permet de paver l'espace.

Coordonnées et permutations

En effectuant les $6\times 4=24$ permutations de (0, ±1, ±2) on obtient les coordonnées cartésiennes des sommets d'un octaèdre tronqué centré à l'origine. Les sommets sont aussi ceux de 12 rectangles dont les longueurs sont parallèles aux axes de coordonnées.

L'octaèdre tronqué peut aussi être représenté par plus de coordonnées symétriques en dimension quatre : les 24 permutations de (1,2,3,4) forment les sommets d'un octaèdre tronqué dans le sous-espace de dimension 3 Modèle:Math. Pour cette raison, l'octaèdre tronqué est aussi connu quelquefois sous le nom de permutoèdre. La construction se généralise à Modèle:Math quelconque, et forme un polytope de dimension Modèle:Math, ses sommets étant obtenus par les Modèle:Formule permutations de Modèle:Formule. Par exemple, les six permutations de (1,2,3) forment un hexagone régulier dans le plan Modèle:Math.

Construction géométrique

Troncature de l'octaèdre régulier.

On obtient un tétrakaidécaèdre d'Archimède (ou octaèdre tronqué) en tronquant les 6 sommets d'un octaèdre régulier à hauteur du tiers de chaque arête.

On peut aussi construire un octaèdre tronqué à l'aide du patron ci-contre.

Mesures et volume

Si les arêtes de l'octaèdre tronqué sont de longueur a,

• son volume est :

$V=8\sqrt{2}{a}^3\approx 11,3137a^3$

• l'aire de sa surface est :

$A=6(1+2\sqrt{3})a^2\approx 26,7846a^2$

Voir aussi

Bibliographie

• Modèle:En Robert Williams, The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design, 1979, Modèle:ISBN
• Modèle:En Mathworld : the truncated octahedron

Liens externes

• Modèle:En [1]
• Modèle:En Polyèdres virtuels : l'encyclopédie des polyèdres
• Modèle:En [2]
• Modèle:En [3]