Opérations sur les équivalents

Cet article synthétise les opérations valides sur les équivalents de fonctions, en analyse mathématique. Pour plus de détails, voir le cours correspondant sur Wikiversité.

Règles simples

Produit

Si $f_1\sim a{g}_1$ et $f_2\sim a{g}_2$ alors $f_1{f}_2\sim a{g}_1{g}_2$.

On en déduit, si $f\sim ag$ :

• pour tout $\lambda \in {ℂ}^{*}$, $\lambda f\sim a\lambda g$ ;
• pour tout $n\in {\mathbb{N}}^{*}$, $f^n\sim a{g}^n$.

Quotient

En supposant, pour que les quotients soient définis, que $f_2$ et $g_2$ ne s'annulent pas au voisinage de Modèle:Mvar, sauf peut-être en Modèle:Mvar :

si $f_1\sim a{g}_1$ et $f_2\sim a{g}_2$ alors $\frac{f_1}{f_2}\sim a\frac{g_1}{g_2}$.

En particulier :

si $f_2\sim a{g}_2$ alors $\frac{1}{f_2}\sim a\frac{1}{g_2}$.

Puissances

En supposant, pour que leurs puissances d'exposant quelconque soient définies, que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont strictement positives au voisinage de Modèle:Mvar :

si $f\sim ag$ alors, pour tout $\alpha \in ℂ$, $f^{\alpha }\sim a{g}^{\alpha }$.

Composition

Composition à droite par une même fonction

Si $\underset{a}{\lim }h=b$ et si $f\sim bg$ alors $f\circ h\sim ag\circ h$.

Quelques cas de composition à gauche

Pour la composition à gauche, il n'existe pas de théorème général. Cependant, on peut remarquer certains cas particuliers.

Somme, différence

Si $f_1\sim a{g}_1\text{ et }{f}_2\sim a{g}_2$ et si (au voisinage de Modèle:Mvar) $g_1$ et $g_2$ sont de même signe et ne s'annulent pas simultanément, alors $f_1+f_2\sim a{g}_1+g_2$.

Composition à gauche par le logarithme

En supposant, pour que leurs logarithmes soient définis, que Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont strictement positives au voisinage de Modèle:Mvar :

si $f\sim ag$ et si $\underset{a}{\lim }g=+\mathrm{\infty }$ ou $\underset{a}{\lim }g=0$ (ou plus généralement : si $g$ « ne s'approche pas » de 1), alors $\ln \circ f\sim a\ln \circ g$.

Composition à gauche par l'exponentielle

${\mathrm{e}}^f\sim a{\mathrm{e}}^g\iff \underset{a}{\lim }(f-g)=0$.

Primitives

Modèle:Section TI Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes au point Modèle:Mvar, alors leurs primitives qui s'annulent en Modèle:Mvar sont équivalentes au point Modèle:Mvar.

Contre-exemples

Somme, différence

Sans hypothèses supplémentaires Modèle:Supra, on ne peut pas faire la somme ou la différence de fonctions équivalentes.

Par exemple, $1+x\sim x\to 01$ mais $(1+x)+(-1)\nsim x\to 01+(-1)$.

Composition à gauche par l'exponentielle

De $f\sim ag$, on ne peut pas déduire ${\mathrm{e}}^f\sim a{\mathrm{e}}^g$.

En effet, $f-g=ao(g)\Rightarrow ̸\underset{a}{\lim }(f-g)=0$ Modèle:Supra.

Par exemple, $1=x\to \mathrm{\infty }o(x)$ mais $\underset{+\mathrm{\infty }}{\lim }1\ne 0$.

Composition à gauche par le logarithme

De $f\sim ag$, on ne peut pas déduire $\ln \circ f\sim a\ln \circ g$.

En effet, si $f\sim a1$ alors Modèle:Supra $\ln \circ f\sim af-1$, or en général $f-1\nsim a0$.

Par exemple $1+x\sim x\to 01$ mais $x\nsim x\to 00$.

L'hypothèse que $g$ « ne s'approche pas » de 1 Modèle:Supra est indispensable.

Dérivation

Modèle:Section TI Si $f\sim ag$ et si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont dérivables, on ne peut pas conclure que $f^{\prime }\sim a{g}^{\prime }$.

Par exemple quand Modèle:Mvar tend vers 0, $f(x)=1+x$ et $g(x)=1$ sont équivalentes, mais $f^{\prime }(x)=1$ et $g^{\prime }(x)=0$, donc $f^{\prime }\nsim 0g^{\prime }$.