P-Laplacien

Modèle:Titre mis en forme En mathématiques, le p-Laplacien, ou l'opérateur de p-Laplace, est un opérateur différentiel partiel elliptique quasi-linéaire du second ordre. C'est une généralisation non linéaire de l'opérateur laplacien, où Modèle:Mvar, usuellement fixé à 2, est autorisé à s'étendre sur $1<p<\mathrm{\infty }$. Il s'écrit comme

${\mathrm{\Delta }}_{p}u:=\mathrm{\nabla }\cdot (|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-2}\mathrm{\nabla }u).$

où le $|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-2}$ est défini par :

$|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-2}={[{\left(\frac{\partial u}{\partial x_1}\right)}^2+\cdots +{\left(\frac{\partial u}{\partial x_n}\right)}^2]}^{\frac{p-2}{2}}$

Dans le cas particulier où $p=2$, cet opérateur se réduit au laplacien classique. En général, les solutions d'équations impliquant le p-Laplacien n'ont pas de dérivées du second ordre au sens classique, donc les solutions à ces équations doivent être comprises comme des solutions faibles. Par exemple, on dit qu'une fonction u appartenant à l'espace de Sobolev $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ est une solution faible de

${\mathrm{\Delta }}_{p}u=0\text{ dans }\mathrm{\Omega }$

si pour chaque fonction test $\phi \in C_0^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ on a

$\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-2}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }\phi \mathrm{d}x=0$

où $\cdot$ désigne le produit scalaire standard.

Opérateur

L'opérateur p-laplacien pour une fonction Modèle:Mvar définie sur un espace de dimension Modèle:Mvar s'écrit :

$\begin{array}{cc}{\mathrm{\Delta }}_{p}u=\mathrm{\nabla }\cdot (|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-2}\mathrm{\nabla }u)& =\sum _{i=1}^n\frac{\partial }{\partial x_i}{\left[\sum _{j=1}^n{\left(\frac{\partial u}{\partial x_j}\right)}^2\right]}^{\frac{p-2}{2}}\frac{\partial u}{\partial x_i}\\ & =|\mathrm{\nabla }u{|}^{p-4}(|\mathrm{\nabla }u{|}^2\mathrm{\Delta }u+(p-2)\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}).\end{array}$

Les solutions sont appelées fonctions p-harmoniques.

Cas particuliers

p = 1

L'opérateur 1-laplacien est l'opposé de l'opérateur de courbure moyenne :

${\mathrm{\Delta }}_{1}u=\mathrm{div}\left(\frac{\mathrm{\nabla }u}{|\mathrm{\nabla }u{|}^1}\right)=-H$

p = 2

L'opérateur 2-laplacien est le laplacien classique :

${\mathrm{\Delta }}_{2}u=\mathrm{\Delta }u=\mathrm{div}(\mathrm{\nabla }u)$

p = n

L'opérateur n-laplacien est un cas particulier, car il est invariant par toute transformation de Möbius. En effet, la norme $\int |\mathrm{\nabla }u{|}^n$ est invariant par toute transformation conforme.

Ce cas est important dans l'étude des transformations quasi conformes.

p infini

L'équation de ∞-Laplace se réduit à:

${\mathrm{\Delta }}_{\mathrm{\infty }}u=\mathrm{\nabla }u\cdot [(Hu)\mathrm{\nabla }u]=\sum _{i,j=1}^n\frac{\partial u}{\partial x_i}\frac{\partial u}{\partial x_j}\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x_i\partial x_j}$

ou Modèle:Mvar désigne la matrice hessienne de Modèle:Mvar. Cette équation a des applications en traitement d'images.

Formulation variationnelle

La solution faible de l'équation de p-Laplace avec une condition aux limites de Dirichlet

$\{\begin{array}{cc}-{\mathrm{\Delta }}_{p}u=f& \text{ dans }\mathrm{\Omega }\\ u=g& \text{ sur }\partial \mathrm{\Omega }\end{array}$

dans un domaine $\mathrm{\Omega }\subset {ℝ}^N$ est celle qui minimise la fonctionnelle énergie

$J(u)=\frac{1}{p}\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }|\mathrm{\nabla }u{|}^{p}dx-\underset{\mathrm{\Omega }}{\int }fu\mathrm{d}x$

parmi toutes les fonctions de l'espace de Sobolev $W^{1,p}(\mathrm{\Omega })$ satisfaisant les conditions aux limites au sens de la trace. Dans le cas particulier $f=1,g=0$ et $\mathrm{\Omega }$ est une boule de rayon 1, la solution faible du problème ci-dessus peut être explicitement calculée et est donnée par

$u(x)=C(1-|x{|}^{\frac{p}{p-1}})$

où $C$ est une constante appropriée dépendant uniquement de la dimension $N$ et de $p$. On remarque que pour $p>2$ la solution n'est pas deux fois dérivable au sens classique.

Voir aussi

• Fonction trigonométrique généralisée

Sources

• Modèle:Article
• Modèle:Article

Références

• Modèle:Ouvrage.
• Modèle:Article
• Modèle:Ouvrage
• Juan Manfredi, Strong comparison Principle for p-harmonic functions