Parabole semi-cubique

Parabole semi-cubique pour divers a.

En mathématiques, une cubique cuspidale, parabole semi-cubique ou parabole de Neile est une courbe plane algébrique qui a une équation implicite de la forme

$y^2-a^2{x}^3=0$

(avec Modèle:Formule) dans un système de coordonnées cartésiennes.

La résolution en $y$ conduit à la forme explicite

$y=\pm a{x}^{\frac{3}{2}},$

ce qui implique que tout point réel vérifie Modèle:Formule. L'exposant explique le terme parabole semi-cubique (une parabole peut être décrite par l'équation $y=a{x}^2$).

La résolution de l'équation implicite pour $x$ donne une deuxième forme explicite

$x={\left(\frac{y}{a}\right)}^{\frac{2}{3}}.$

L'équation paramétrique

$x=t^2,y=a{t}^3$

peut également être déduit de l'équation implicite en posant $t=\frac{y}{ax}.$

Les paraboles semi-cubiques ont un point de rebroussement, d'où le nom de cubique cuspidale (de l'anglais Modèle:Lang).

La longueur de l'arc de la courbe a été calculée par le mathématicien William Neile et publiée en 1657.

Propriétés des paraboles semi-cubiques

Similarité

Toute parabole semi-cubique Modèle:Math est similaire à la parabole unitaire semi-cubique Modèle:Math.

Preuve : la similarité $(x,y)\to (a^{2}x,a^{2}y)$ (mise à l'échelle uniforme) cartographie la parabole semi-cubique $(t^2,a{t}^3)$ sur la courbe $((at{)}^2,(at{)}^3)=(u^2,u^3)$ avec Modèle:Mvar.

Singularité

La représentation paramétrique Modèle:Math est régulière sauf au point Modèle:Math, où la courbe a une singularité (point de rebroussement). On le voit en remarquant que le vecteur tangent Modèle:Math est nul en Modèle:Math.

Tangente d'une parabole semi-cubique

Tangentes

Par différenciation de la parabole semi-cubique unitaire $y=\pm x^{\frac{3}{2}}$ on obtient au point $(x_0,y_0)$ de la branche supérieure l'équation de la tangente :

$y=\frac{\sqrt{x_0}}{2}(3x-x_0).$

Cette tangente coupe la branche inférieure exactement en un autre point de coordonnées

$(\frac{x_0}{4},-\frac{y_0}{8}).$

Pour prouver cette affirmation, il faut utiliser le fait que la tangente rencontre la courbe deux fois en $(x_0,y_0)$.

Longueur de l'arc

Pour déterminer la longueur d'arc d'une courbe $(x(t),y(t))$, il faut calculer l'intégrale Modèle:Nobr. Pour la parabole semi-cubique Modèle:Nobr on obtient

$\underset{0}{\overset{b}{\int }}\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}\mathrm{d}t=\underset{0}{\overset{b}{\int }}t\sqrt{4+9a^2{t}^2}\mathrm{d}t=\cdots ={\left[\frac{1}{27a^2}{(4+9a^2{t}^2)}^{\frac{3}{2}}\right]}_0^b.$

qui peut être résolue par le changement de variables Modèle:Nobr.

Exemple : Pour Modèle:Math (parabole semi-cubique unitaire) et Modèle:Math, c'est-à-dire la longueur de l'arc entre l'origine et le point Modèle:Math, on obtient une longueur d'arc de Modèle:Math.

Développée de la parabole unitaire

La développée de la parabole Modèle:Math est une parabole semi-cubique décalée de 1/2 le long de l'axe Modèle:Mvar :

$(\frac{1}{2}+t^2,\frac{4}{{\sqrt{3}}^3}{t}^3).$

Coordonnées polaires

Pour obtenir la représentation de la parabole semi-cubique Modèle:Math en coordonnées polaires, on détermine le point d'intersection de la droite $y=mx$ avec la courbe. Pour $m\ne 0$ il y a un point différent de l'origine : Modèle:Nobr Ce point a une distance $\frac{m^2}{a^2}\sqrt{1+m^2}$ depuis l'origine. Avec $m=\tan \phi$ et ${\sec }^2\phi =1+{\tan }^2\phi$ (par les identités trigonométriques) on obtient

$r={\left(\frac{\tan \phi }{a}\right)}^2\sec \phi ,-\frac{\pi }{2}<\phi <\frac{\pi }{2}.$

Relation entre une parabole semi-cubique et une fonction cubique (vert)

Relation entre une parabole semi-cubique et une fonction cubique

Projeter la parabole semi-cubique Modèle:Math par l'application $(x,y)\to (\frac{x}{y},\frac{1}{y})$ donne Modèle:Nobr d'où la fonction cubique Modèle:Math. La pointe (origine) de la parabole semi-cubique est échangée avec le point à l'infini de l'axe des ordonnées.

Cette propriété peut également être dérivée si l'on représente la parabole semi-cubique par des coordonnées homogènes : Dans l'équation (A) le changement de variables $x=\frac{x_1}{x_3},y=\frac{x_2}{x_3}$ (la droite à l'infini a pour équation Modèle:Nobr et la multiplication par $x_3^3$ est effectuée. On obtient l'équation de la courbe en coordonnées homogènes : Modèle:Nobr

Choisir la ligne $x_2=0$ comme ligne à l'infini et introduire $x=\frac{x_1}{x_2},y=\frac{x_3}{x_2}$ donne la courbe (affinée) Modèle:Math.

Courbe isochrone

Une propriété déterminante supplémentaire de la parabole semi-cubique est qu'il s'agit d'une courbe isochrone, ce qui signifie qu'une particule suivant sa trajectoire tout en étant attirée vers le bas par la gravité parcourt des intervalles verticaux égaux dans des périodes de temps égales. De cette façon, il est lié à la courbe tautochrone, pour laquelle les particules à différents points de départ mettent toujours le même temps pour atteindre le fond, et à la courbe brachistochrone, la courbe qui minimise le temps qu'il faut à une particule tombante pour se déplacer de son début à sa fin.

Histoire

Modèle:Section à sourcer La parabole semi-cubique a été découverte en 1657 par William Neile qui a calculé sa longueur d'arc. Bien que les longueurs de certaines autres courbes non algébriques, y compris la spirale logarithmique et la cycloïde, aient déjà été calculées (c'est-à-dire que ces courbes ont été rectifiées), la parabole semi-cubique était la première courbe algébrique (à l'exclusion de la ligne et du cercle) à être rectifiée.

Bibliographie

• August Pein : Die semicubische oder Neil'sche Parabel, ihre Sekanten und Tangenten, 1875, Dissertation

Liens externes

• Modèle:En Clifford A. Pickover, « The Length of Neile's Semicubical Parabola », The Math Book, 2009
• Modèle:MathWorld
• Modèle:MacTutor