Pentacontagone

Un pentacontagone est un polygone à 50 sommets, donc Modèle:Nobr et Modèle:Nombre.

La somme des angles internes d'un pentacontagone non croisé vaut Modèle:Unité.

Pentacontagones réguliers

Un pentacontagone régulier est un pentacontagone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a dix : neuf étoilés (notés {50/k} pour k impair de 3 à 23 sauf 5 et 15) et un convexe (noté {50}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le pentacontagone régulier ».

• Les dix pentacontagones réguliers avec, pour chacun, le symbole de Schläfli et l'angle interne.
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  {50}, 172,8°
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  {50/3}, 158,4°
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  {50/7}, 129,6°
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  {50/9}, 115,2°
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  {50/11}, 100,8°
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  {50/13}, 86,4°
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  {50/17}, 57,6°
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  {50/19}, 28,8°
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  {50/21}, 14,4°
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  {50/23}, 43,2°

Caractéristiques du pentacontagone régulier

Chacun des 50 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{50}=7,2^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{8640^{\circ }}{50}=172,8^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=50a$ ;
• l'aire vaut $A=\frac{50}{4}{a}^2\cot \left(\frac{\pi }{50}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{50}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{50}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{50}\right)}$.