Pentahectogone

Un Modèle:Refnec est un polygone à 500 sommets, donc 500 côtés et Modèle:Unité.

La somme des angles internes d'un 500-gone non croisé vaut Modèle:Unité.

500-gones réguliers

Un 500-gone régulier est un 500-gone dont les côtés ont même longueur et dont les angles internes ont même mesure. Il y en a 100 : 99 étoilés (notés {500/k} pour k impair de 3 à 249 sauf les multiples de 5) et un convexe (noté {500}). C'est de ce dernier qu'il s'agit lorsqu'on dit « le 500-gone régulier ».

Caractéristiques du 500-gone régulier

Chacun des 500 angles au centre mesure $\frac{360^{\circ }}{500}=0,72^{\circ }$ et chaque angle interne mesure $\frac{89640^{\circ }}{500}=179,28^{\circ }$.

Si Modèle:Math est la longueur d'une arête :

• le périmètre vaut $P=500a$ ;
• l'aire vaut $A=125a^2\cot \left(\frac{\pi }{500}\right)$ ;
• l'apothème vaut $H=\frac{2A}{P}=\frac{a}{2}\cot \left(\frac{\pi }{500}\right)$ ;
• le rayon vaut $R=\frac{H}{\cos \left(\frac{\pi }{500}\right)}=\frac{a}{2\sin \left(\frac{\pi }{500}\right)}$.