Plan de Mysior
Le plan de Mysior est un espace topologique construit en 1981 par le mathématicien polonais Adam Mysior[1] et vérifiant des propriétés de séparation particulières : c'est un espace régulier non complètement régulier, plus simple que les contre-exemples antérieurs[2].
Définition
L'ensemble sous-jacent à cet espace est le demi-plan supérieur auquel on ajoute un point P, choisi par exemple égal à (0, –1) : Modèle:Retrait
On définit pour chaque point (x, y) de Modèle:Math une base de voisinages :
- si y > 0, le singleton {(x, y)} est un voisinage de (x, y), c'est-à-dire que tous les points du demi-plan ouvert sont isolés ;
- chaque voisinage de base d'un point (x, 0) de l'axe horizontal est constitué de ce point et de tous les points de RModèle:Ind sauf un nombre fini, où RModèle:Ind est la réunion de l'intervalle vertical VModèle:Ind := {(x, t) | 0 ≤ t < 2} et de l'intervalle oblique OModèle:Ind := {(x + t, t) | 0 ≤ t < 2} ;
- les voisinages de base du point P sont les ensembles UModèle:Ind := {P} ∪ {(s, t) | s > n, t ≥ 0}, pour n = 1, 2, …
Ces bases de voisinages définissent une topologie Modèle:Math sur Modèle:Math. L'espace topologique Modèle:Math est appelé le plan de Mysior[3]Modèle:,[4].
Propriétés
Le point P est limite de toute suite (xModèle:Ind, yModèle:Ind) dans Modèle:Math telle que [[Limite d'une suite#Limite infinie|xModèle:Ind → Modèle:Math]].
L'espace Modèle:Math est séparé. Il est même régulier, car tout point possède une base de voisinages fermés : pour les points autres que P, les voisinages ci-dessus sont fermés et pour le point P, il suffit de remarquer que l'adhérence de UModèle:Ind est incluse dans UModèle:Ind (c'est la réunion de UModèle:Ind et de l'intervalle horizontal {(s, 0) | n < s ≤ n + 2}).
Il n'est pas complètement régulier car toute application continue f de X dans ℝ nulle sur le fermé {(s, 0) | s ≤ 1} est nulle en P.
Modèle:Démonstration/début Il suffit de montrer que pour tout entier n ≥ 1, l'ensemble KModèle:Ind des points de la forme (x, 0) avec n – 1 ≤ x ≤ n en lesquels f s'annule est infini. Procédons par récurrence. L'initialisation est immédiate. Pour l'hérédité, soit C un ensemble infini dénombrable inclus dans KModèle:Ind. Pour tout point (c, 0) de C, f s'annule sur tout l'intervalle oblique OModèle:Ind privé d'un sous-ensemble au plus dénombrable DModèle:Ind. La réunion de ces ensembles DModèle:Ind est alors au plus dénombrable donc sa projection P sur l'axe horizontal y = 0 aussi, si bien que l'ensemble des points (x, 0) ∉ P tels que Modèle:Nobr est infini. On conclut en remarquant que cet ensemble est inclus dans KModèle:Ind, c'est-à-dire que f s'annule en chacun de ces (x, 0), puisqu'elle s'annule en une infinité de points de l'intervalle vertical VModèle:Ind (chaque point d'intersection de VModèle:Ind avec un OModèle:Ind, quand (c, 0) parcourt C). Modèle:Démonstration/fin
Notes et références
Modèle:Références Modèle:Traduction/Référence
- ↑ Modèle:Article.
- ↑ Modèle:Cf. exemples 90, 91, 92 et 94 de Modèle:Lang.
- ↑ Modèle:Ouvrage, Modèle:Lang 2.5,4.
- ↑ Modèle:Ouvrage, Modèle:Lang III.2.