Point d'Apollonius d'un triangle

En géométrie euclidienne, le point Apollonius d'un triangle est un centre du triangle noté X(181) dans l'Encyclopédie des centres de triangle (ETC) de Clark Kimberling. Il est défini comme le point de concours des trois droites joignant un sommet du triangle au point de contact entre le cercle exinscrit opposé et le cercle d'Apollonius tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits.

La solution du problème des cercles d’Apollonius est connue depuis des siècles. Mais le point d'Apollonius n'a été découvert qu'en 1987 Modèle:,.

Définition

Considérons les cercles exinscrits Modèle:Mvar d'un triangle Modèle:Formule opposés aux sommets Modèle:Mvar respectivement. Soient $A^{\prime },B^{\prime },C^{\prime }$les points de contact du cercle Modèle:Mvar tangent extérieurement aux trois cercles exinscrits Modèle:Mvar . Les droites $(A{A}^{\prime }),(B{B}^{\prime }),(C{C}^{\prime })$ sont concourantes et leur point de concours est appelé le point d'Apollonius de Modèle:Formule .

Une démonstration se trouve dans .

Le problème d'Apollonius consiste en la construction d'un cercle tangent à trois cercles donnés dans un plan. En général, il y a huit cercles solutions. Le cercle Modèle:Mvar mentionné dans la définition ci-dessus est l'un des huit cercles tangents aux trois cercles exinscrits du triangle Modèle:Formule. Dans l'Encyclopédie des centres de triangle, le cercle Modèle:Mvar est appelé le cercle d'Apollonius de Modèle:Formule.

Coordonnées trilinéaires

Les coordonnées trilinéaires homogènes du point Apollonius sont données par

$\begin{array}{cc}& (\frac{a(b+c{)}^2}{b+c-a}:\frac{b(c+a{)}^2}{c+a-b}:\frac{c(a+b{)}^2}{a+b-c})\\ =& ({\sin }^{2}A{\cos }^2\frac{B-C}{2}:{\sin }^{2}B{\cos }^2\frac{C-A}{2}:{\sin }^{2}C{\cos }^2\frac{A-B}{2})\end{array}$

Voir aussi

•  Cercles d'Apollonius

Liens externes

• Modèle:Mathworld