Point isodynamique

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Les points isodynamiques Modèle:Mvar et Modèle:Mvar comme point d'intersection des cercles d'Apollonius. Les droites bleues sont les bissectrices intérieures, les rouges sont les bissectrices extérieures, utilisées pour construire les cercles.

En géométrie euclidienne, les points isodynamiques du triangle sont des points associés à un triangle, telles qu'une inversion centrée en un de ces points transforme le triangle en un triangle équilatéral, et que les distances entre le point isodynamique aux sommets du triangle sont inversement proportionnelles aux longueurs des côtés opposés du triangle. Ce sont des centres du triangle, invariants par transformation de Möbius. Un triangle équilatéral n'a qu'un point isodynamique, en son centre de gravité ; les autres en ont deux. Les points isodynamiques ont d'abord été étudiés par Joseph Neuberg[1]Modèle:,[2].

Rapports de distances

Les points isodynamiques ont été à l'origine définis à partir de certaines égalités de rapports (ou, de façon équivalente, de produits) de distances entre des paires de points. Si Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les points isodynamiques d'un triangle Modèle:Mvar, alors on a Modèle:Math. Des égalités analogues sont vérifiées pour le point Modèle:Mvar. Neuberg appelle ces points "isodynamiques" en raison de cette propriété[3]. De manière équivalente, les distances Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont inversement proportionnelles aux longueurs des côtés du triangle Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar.

Les points Modèle:Mvar et Modèle:Mvar sont les points d'intersection des trois cercles d'Apollonius associés au triangle Modèle:Mvar, les trois cercles passant par un sommet du triangle et maintenant un rapport de distances constant aux autres sommets[4]Modèle:,[5]. Ainsi, la droite Modèle:Mvar est l'axe radical des trois paires de cercles d'Apollonius. La médiatrice du segment Modèle:Math est la droite de Lemoine du triangle, qui passe par les centres des cercles d'Apollonius[6].

Transformations

Les points isodynamiques Modèle:Mvar et Modèle:Mvar d'un triangle Modèle:Mvar peuvent être définies par leurs propriétés après transformations du plan, et particulièrement les inversions et les transformations de Möbius (produits d'inversions multiples). L'inversion du triangle Modèle:Mvar par rapport à un des points isodynamiques transforme en effet le triangle Modèle:Mvar en un triangle équilatéral[1]Modèle:,[4]. L'inversion par rapport au cercle circonscrit du triangle Modèle:Mvar laisse le triangle invariant mais envoie un des points isodynamiques sur l'autre[4]Modèle:,[5].

Plus généralement, les points isodynamiques sont invariants par transformations de Möbius : la paire non ordonnée de points isodynamiques d'une transformation de Modèle:Mvar est égale à la même transformation appliquée à la paire Modèle:Math. Plus précisément, les points isodynamiques pris individuellement sont fixes par les transformations de Möbius qui projette l'intérieur du cercle circonscrit de Modèle:Mvar vers l'intérieur du cercle circonscrit du triangle transformé, et permutés par les transformations qui échangent l'intérieur et l'extérieur du cercle circonscrit[7].

Angles

Trois cercles, chacun faisant un angle de Modèle:Math avec le cercle circonscrit et les deux autres, se croisent au premier point isodynamique.

En plus d'être les intersections des cercles d'Apollonius, chaque point isodynamique est le point d'intersection d'un autre triplet de cercles. Le premier point isodynamique est l'intersection de trois cercles passant par les paires de points Modèle:Mvar, Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, où chacun des trois cercles croise le cercle circonscrit du triangle Modèle:Mvar pour former une lentille avec un angle au sommet Modèle:Math. De façon similaire, le deuxième point isodynamique est l'intersection de trois cercles qui croise le cercle circonscrit pour former des lentilles avec un angle au sommet de Modèle:Math[7].

Les angles formés par le premier point isodynamique avec les sommets du triangle satisfont les équations ASB^=ACB^+π/3, ASC^=ABC^+π/3 et BSC^=BAC^+π/3. De manière analogue, les angles formés par le deuxième point isodynamique vérifient AS′B^=ACB^−π/3, AS′C^=ABC^−π/3 et BS′C^=BAC^−π/3[7].

Le triangle podaire d'un point isodynamique (le triangle formé en projetant orthogonalement Modèle:Mvar sur les trois côtés du triangle Modèle:Mvar) est équilatéral[1]Modèle:,[4] car il est le triangle formé en réfléchissant Modèle:Mvar de chaque côté du triangle[8]. De tous les triangles équilatéraux inscrits dans le triangle Modèle:Mvar, le triangle podairel du premier point isodynamique est celui d'aire minimale[9].

Propriétés supplémentaires

Les points isodynamiques sont sur l'axe de Brocard du triangle, et sont donc alignés avec le centre du cercle circonscrit au triangle, ainsi que son point de Lemoine.

Les points isodynamiques sont les conjugués isogonaux des deux points isogoniques du triangle, et réciproquement[2]Modèle:,[6].

Le cercle circonscrit au triangle formé par les points isodynamiques et le centre de gravité du triangle de référence est le cercle de Parry du triangle de référence.

La cubique de Neuberg passe par les deux points isodynamiques[6].

Si un cercle est séparé en trois arcs, le premier point isodynamique du triangle formé par les trois points de séparation est l'unique point dans le cercle tel que chacun des trois arcs a autant de chances d'être atteint par un mouvement brownien partant de ce point. Ainsi, le point isodynamique est le point pour lequel les mesures harmoniques des trois arcs sont égales[10].

Méthodes de construction

Construction du premier point isodynamique à partir du symétrique du triangle de référence et de triangles équilatéraux pointant vers l'intérieur.

Le cercle d'Apollonius par le sommet Modèle:Mvar du triangle Modèle:Mvar peut être construit en trouvant les deux bissectrices (intérieure et extérieure) des deux angles formées par les droites Modèle:Mvar et Modèle:Mvar au sommet Modèle:Mvar, et intersectant les bissectrices avec la droite Modèle:Mvar. Le segment entre les deux points d'intersection est le diamètre du cercle d'Apollonius. Les points isodynamiques peuvent être trouvés en construisant deux de ces cercles et en repérant leurs deux points d'intersection[4]Modèle:,[5].

Une autre construction au compas et à la règle graduée implique le symétrique Modèle:Mvar du sommet Modèle:Mvar par la droite Modèle:Mvar (l'intersection de cercles centrés en Modèle:Mvar et Modèle:Mvar passant par Modèle:Mvar), et en construisant un triangle équilatéral vers l'intérieur du côté Modèle:Mvar du triangle (le sommet Modèle:Mvar de ce triangle est l'intersection de deux cercles avec Modèle:Mvar comme rayon). La droite Modèle:Mvar croise les droites Modèle:Mvar et Modèle:Mvar, construites de façon similaire, comme le premier point isodynamique. Le deuxième point isodynamique peut être construit de façon similaire mais avec les triangles équilatéraux pointant vers l'extérieur[11].

De façon alternative, la position du premier point isodynamique peut être calculé avec ses coordonnées trilinéaires, qui sont[12]

sin⁡(A+π/3):sin⁡(B+π/3):sin⁡(C+π/3).

Celles du deuxième point isodynamique sont similaires mais avec un angle supplémentaire de Modèle:Math à la place de Modèle:Math.

Références

Modèle:Traduction/Référence Modèle:Références

Liens externes

Modèle:Autres projets

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  1. ↑ 1,0 1,1 et 1,2 Modèle:Ouvrage
  2. ↑ 2,0 et 2,1 Modèle:Ouvrage.
  3. ↑ Modèle:Ouvrage. La définition des points isodynamiques est en note de bas de page 204.
  4. ↑ 4,0 4,1 4,2 4,3 et 4,4 Modèle:Ouvrage.
  5. ↑ 5,0 5,1 et 5,2 Modèle:Article.
  6. ↑ 6,0 6,1 et 6,2 Modèle:Ouvrage. Voir notamment p. 498.
  7. ↑ 7,0 7,1 et 7,2 Modèle:Article. La discussion sur les points isodynamiques est dans les pages 138–139. Rigby les appelle "points de Napoléon", mais ceci désigne des centres du triangle différents.
  8. ↑ Modèle:Article.
  9. ↑ Modèle:Article.
  10. ↑ Modèle:Ouvrage.
  11. ↑ Modèle:Article.
  12. ↑ Modèle:Article.
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