Points de Hofstadter

En géométrie plane, un point de Hofstadter est un point spécial associé à chaque triangle plan. En fait il existe plusieurs points de Hofstadter associés à un triangle. Tous sont des centres du triangle. Deux d'entre eux, le point de 0-Hofstadter et le point de 1-Hofstadter, se distinguent des autres. Ce sont deux centres triangulaires transcendantaux. Le point de 0-Hofstadter est le centre désigné par X(360) et le point de 1-Hofstafter est le centre désigné par X(359) dans l'Encyclopédie des centres triangulaires de Clark Kimberling. Le point de 0-Hofstadter a été découvert par Douglas Hofstadter en 1992.

Triangles de Hofstadter

Soit Modèle:Formule un triangle donné. Soit Modèle:Mvar une constante réelle positive.

On fait pivoter le segment de droite Modèle:Mvar autour de Modèle:Mvar d'un angle Modèle:Mvar vers l'intérieur du triangle et soit Modèle:Mvar la droite contenant ce segment de droite. On fait ensuite pivoter le segment de droite Modèle:Mvar autour de Modèle:Mvar d'un angle Modèle:Mvar vers l'intérieur du triangle également. Soit Modèle:Mvar la droite contenant ce segment de droite. Les droites Modèle:Mvar et Modèle:Mvar se coupent en Modèle:Formule . De la même manière, on construit les points Modèle:Formule et Modèle:Formule. Le triangle dont les sommets sont Modèle:Formule est le Modèle:Mvar-triangle de Hofstadter (ou le triangle de Modèle:Mvar-Hofstadter) de Modèle:FormuleModèle:,.

Cas particuliers

• Le triangle de 1/3-Hofstadter du triangle Modèle:Formule est le premier triangle de Morley de Modèle:Formule. Le triangle de Morley est toujours un triangle équilatéral.
• Le triangle de 1/2-Hofstadter est simplement le centre du cercle inscrit du triangle.

Coordonnées trilinéaires des sommets des triangles de Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires des sommets du triangle de Modèle:Mvar-Hofstadter sont données ci-dessous :

$$\begin{array}{ccccccc}A(r)& =& 1& :& \frac{\sin rB}{\sin (1-r)B}& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ B(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& 1& :& \frac{\sin rC}{\sin (1-r)C}\\ C(r)& =& \frac{\sin rA}{\sin (1-r)A}& :& \frac{\sin (1-r)B}{\sin rB}& :& 1\end{array}$$

Paires de Hofstadter

Kimberling a mis en évidence que, pour Modèle:Math, les triangles de Modèle:Mvar-Hofstadter et de Modèle:Math-Hofstadter sont en perspective.

Points de Hofstadter

Animation montrant divers points de Hofstadter pour r entre 0 et 1. Modèle:Formule est le point de 0-Hofstadter. Modèle:Formule est le point de 1-Hofstadter. Le petit arc rouge au centre du triangle est le lieu des points de Modèle:Mvar-Hofstadter pour Modèle:Formule . Ce lieu passe par le centre du cercle inscrit Modèle:Mvar du triangle.

Pour une constante réelle positive Modèle:Formule, soit Modèle:Formule le triangle de Modèle:Mvar-Hofstadter du triangle Modèle:Formule . Alors les droites Modèle:Formule sont concourantes. Le point de concours est appelé le point de Modèle:Mvar-Hofstdter de Modèle:Formule .

Coordonnées trilinéaires du point de Modèle:Mvar-Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires du point de Modèle:Mvar-Hofstadter sont données ci-dessous.

$$\frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}:\frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}:\frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}$$

Points de 0 et 1-Hofstadter

Les coordonnées trilinéaires de ces points ne peuvent pas être obtenues en insérant les valeurs 0 et 1 pour Modèle:Mvar dans les expressions des coordonnées trilinéaires du point de Modèle:Mvar-Hofstadter.

Le point de 0-Hofstadter est la limite du point de Modèle:Mvar-Hofstadter lorsque Modèle:Mvar s'approche de zéro ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 0-Hofstadter se déduisent ainsi :

$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{\sin rA}{r\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{r\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{r\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 0}{\lim }& \frac{A\sin rA}{rA\sin (A-rA)}& :& \frac{B\sin rB}{rB\sin (B-rB)}& :& \frac{C\sin rC}{rC\sin (C-rC)}\end{array}$$

Puisque $\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rA}{rA}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rB}{rB}=\underset{r\to 0}{\lim }\frac{\sin rC}{rC}=1,$

$$⟹\frac{A}{\sin A}:\frac{B}{\sin B}:\frac{C}{\sin C}=\frac{A}{a}:\frac{B}{b}:\frac{C}{c}$$

Le point de 1-Hofstadter est la limite du point de Modèle:Mvar-Hofstadter lorsque Modèle:Mvar s'approche de 1 ; ainsi, les coordonnées trilinéaires du point de 1-Hofstadter s'obtiennent ainsi :

$$\begin{array}{cccccc}\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)\sin rA}{\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)\sin rB}{\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)\sin rC}{\sin (C-rC)}\\ ⟹\underset{r\to 1}{\lim }& \frac{(1-r)A\sin rA}{A\sin (A-rA)}& :& \frac{(1-r)B\sin rB}{B\sin (B-rB)}& :& \frac{(1-r)C\sin rC}{C\sin (C-rC)}\end{array}$$

Or, $\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)A}{\sin (A-rA)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)B}{\sin (B-rB)}=\underset{r\to 1}{\lim }\frac{(1-r)C}{\sin (C-rC)}=1,$

$$⟹\frac{\sin A}{A}:\frac{\sin B}{B}:\frac{\sin C}{C}=\frac{a}{A}:\frac{b}{B}:\frac{c}{C}$$

Références

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