Polynôme osculateur

Approximations polynomiales du logarithme népérien en 1 de degrés 1, 2, 3 et 10.

Approximations polynomiales de la fonction sinus en 0 de degrés 1, 3, 5 et 7.

En analyse, un polynôme osculateur ou osculatoire est un polynôme fournissant une « bonne approximation » d'une fonction.

Définition

Considérons ƒ une fonction réelle n fois dérivable en un point Modèle:Math. Le polynôme p est dit osculatoire si

$\mathrm{\forall }i\in 0,...,n,p^{(i)}(x_0)=f^{(i)}(x_0)$

En particulier, pour n = 2, on constate donc que le polynôme est tangent et a la même courbure que ƒ en Modèle:Math.

Formule

Le polynôme osculateur de degré minimal est donc son polynôme de Taylor :

$p(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i=f(x_0)+\frac{f^{\prime }(x_0)}{1!}(x-x_0)+\frac{f^{(2)}(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n$

Cependant, pour tout polynôme Modèle:Mvar, tout polynôme de la forme

$p_1(x)=\sum _{i=0}^n\frac{f^{(i)}(x_0)}{i!}(x-x_0{)}^i+(x-x_0{)}^{n+1}Q(x)$

est également osculateur.

Applications

Un polynôme osculateur peut remplacer localement une fonction ƒ. Cela permet d'avoir une fonction plus facile à manipuler.

Voir aussi

Articles connexes

• Développement limité
• Théorème de Taylor
• Cercle osculateur
• Interpolation polynomiale, Interpolation d'Hermite, Spline
• Régression polynomiale