Polynôme séquentiel

Un polynôme séquentiel (ou polynôme de Littlewood) est un polynôme dont les coefficients appartiennent tous à {-1, 1}. Ils sont nommés d'après J. E. Littlewood, qui, dans les années 1950, a étudié les valeurs de tels polynômes sur le cercle unité dans le plan complexe, ce qui permet d'avoir des informations sur l'autocorrélation de suites binaires.

Un tel polynôme peut donc se mettre sous la forme :

$P(X)=\sum _{i=0}^{l-1}{a}_i{X}^i$

où la suite des $a_i$ s'écrit :

$a=(a_0,...,a_{l-1})$

et est appelée « séquence ».

On dit que deux séquences a et b sont complémentaires lorsque :

$\mathrm{\forall }j\in [1,l-1],\sum _{i=0}^{l-1-j}(a_i{a}_{i+j}+b_i{b}_{i+j})=0$

On appelle $ℒ$ l'ensemble des longueurs l pour lesquelles il existe des séquences complémentaires. Modèle:Refnec.

On peut lire dans le sujet du concours X-ESPCI de Polytechnique et de l'ESPCI, filière PC, de 2006 : Modèle:Citation bloc

Articles connexes

• Polynôme de Shapiro
• Modèle:Lien