Polynôme de Neumann

En mathématiques, les polynômes de Neumann, introduits par Carl Neumann pour le cas particulier $\alpha =0$, sont une suite de polynômes dans $1/t$ utilisé pour le développement de fonctions en termes de fonctions de Bessel.

Les premiers polynômes sont

$O_0^{(\alpha )}(t)=\frac{1}{t},$

$O_1^{(\alpha )}(t)=2\frac{\alpha +1}{t^2},$

$O_2^{(\alpha )}(t)=\frac{2+\alpha }{t}+4\frac{(2+\alpha )(1+\alpha )}{t^3},$

$O_3^{(\alpha )}(t)=2\frac{(1+\alpha )(3+\alpha )}{t^2}+8\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )}{t^4},$

$O_4^{(\alpha )}(t)=\frac{(1+\alpha )(4+\alpha )}{2t}+4\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(4+\alpha )}{t^3}+16\frac{(1+\alpha )(2+\alpha )(3+\alpha )(4+\alpha )}{t^5}.$

Une forme généralisée du polynôme est

$O_n^{(\alpha )}(t)=\frac{\alpha +n}{2\alpha }\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1{)}^{n-k}\frac{(n-k)!}{k!}(\genfrac{}{}{0ex}{}{-\alpha }{n-k}){\left(\frac{2}{t}\right)}^{n+1-2k},$

et ils ont comme "fonction génératrice"

$\frac{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\alpha }}{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}\frac{1}{t-z}=\sum _{n=0}{O}_n^{(\alpha )}(t)J_{\alpha +n}(z),$

où J désignent les fonctions de Bessel de première espèce.

Approximation par une série de Fourier-Bessel

Pour développer une fonction f sous la forme

$f(z)=\sum _{n=0}{a}_n{J}_{\alpha +n}(z)$

pour $|z|<c$, on calcule

$a_n=\frac{1}{2\pi \mathrm{i}}{\oint }_{|z|=c^{\prime }}\frac{\mathrm{\Gamma }(\alpha +1)}{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\alpha }}f(z)O_n^{(\alpha )}(z)\mathrm{d}z,$

où $c^{\prime }<c$ et c est la distance entre la singularité la plus proche de $z^{-\alpha }f(z)$ et $z=0$.

Exemples

Un exemple est le prolongement

${\left(\frac{1}{2}z\right)}^s=\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \sum _{k=0}(-1{)}^k{J}_{s+2k}(z)(s+2k)(\genfrac{}{}{0ex}{}{-s}{k}),$

ou la Modèle:Lien plus générale

${\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\gamma z}=\mathrm{\Gamma }(s)\cdot \sum _{k=0}{\mathrm{i}}^k{C}_k^{(s)}(\gamma )(s+k)\frac{J_{s+k}(z)}{{\left(\frac{z}{2}\right)}^s}.$

où $C_k^{(s)}$ est le polynôme de Gegenbauer. Alors,Modèle:Référence nécessaireModèle:Interprétation personnelle

$\frac{{\left(\frac{z}{2}\right)}^{2k}}{(2k-1)!}{J}_s(z)=\sum _{i=k}(-1{)}^{i-k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k-1}{2k-1})(\genfrac{}{}{0ex}{}{i+k+s-1}{2k-1})(s+2i)J_{s+2i}(z),$

$\sum _{n=0}{t}^n{J}_{s+n}(z)=\frac{{\mathrm{e}}^{\frac{tz}{2}}}{t^s}\sum _{j=0}\frac{{(-\frac{z}{2t})}^j}{j!}\frac{\gamma (j+s,\frac{tz}{2})}{\mathrm{\Gamma }(j+s)}=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{e}}^{-\frac{z{x}^2}{2t}}\frac{zx}{t}\frac{J_s(z\sqrt{1-x^2})}{{\sqrt{1-x^2}}^s}\mathrm{d}x,$

la fonction hypergéométrique confluente

$M(a,s,z)=\mathrm{\Gamma }(s)\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{(-\frac{1}{t})}^k{L}_k^{(-a-k)}(t)\frac{J_{s+k-1}\left(2\sqrt{tz}\right)}{(\sqrt{tz}{)}^{s-k-1}},$

et en particulier

$\frac{J_s(2z)}{z^s}=\frac{4^s\mathrm{\Gamma }(s+\frac{1}{2})}{\sqrt{\pi }}{\mathrm{e}}^{2\mathrm{i}z}\sum _{k=0}{L}_k^{(-s-1/2-k)}\left(\frac{\mathrm{i}t}{4}\right)(4\mathrm{i}z{)}^k\frac{J_{2s+k}\left(2\sqrt{tz}\right)}{{\sqrt{tz}}^{2s+k}},$

la formule de décalage d'indice

$\mathrm{\Gamma }(\nu -\mu )J_{\nu }(z)=\mathrm{\Gamma }(\mu +1)\sum _{n=0}\frac{\mathrm{\Gamma }(\nu -\mu +n)}{n!\mathrm{\Gamma }(\nu +n+1)}{\left(\frac{z}{2}\right)}^{\nu -\mu +n}{J}_{\mu +n}(z),$

le développement de Taylor (formule d'addition)

$\frac{J_s\left(\sqrt{z^2-2uz}\right)}{{\left(\sqrt{z^2-2uz}\right)}^{\pm s}}=\sum _{k=0}\frac{(\pm u{)}^k}{k!}\frac{J_{s\pm k}(z)}{z^{\pm s}},$

(cf. Modèle:Pas dans la source) et le développement de l'intégrale de la fonction de Bessel,

$\int J_s(z)\mathrm{d}z=2\sum _{k=0}^{+\mathrm{\infty }}{J}_{s+2k+1}(z),$

sont du même type.

Voir également

• Fonction de Bessel
• Polynôme de Bessel
• Polynôme de Lommel
• Transformation de Hankel
• Série de Fourier généralisée
• Polynôme de Schläfli

Liens externes

• Modèle:Mathworld
• Modèle:DLMF