Transformation de Hankel

En mathématiques, la transformation de Hankel, ou transformation de Fourier-Bessel, exprime une fonction donnée Modèle:Math comme l'intégrale pondérée de fonctions de Bessel du premier type Modèle:Math. Les fonctions de Bessel dans la somme sont toutes du même ordre ν, mais diffèrent par un facteur k sur l'axe radial. Le coefficient nécessaire Modèle:Math de chaque fonction de Bessel dans la somme, vu comme une fonction du facteur d'échelle k, constitue la transformée.

Cette transformation peut être vue pour l'ordre $\nu =0$ comme la transformation de Fourier d'une fonction $f(r,\theta )=f(r)$ définie sur un espace de dimension 2, muni d'un système de coordonnées circulaires $(r,\theta )$ indépendante de l'angle $\theta$ et ne dépendant donc que de la coordonnée radiale $r$. Elle est donc tout particulièrement utilisée pour résoudre les équations linéaires de fonctions à deux dimensions à symétrie radiale.

Définition

La transformation de Hankel d'ordre Modèle:Math d'une fonction Modèle:Math est donnée par :

$F_{\nu }(k)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_{\nu }(kr)r\mathrm{d}r$

où Modèle:Math est la fonction de Bessel du premier type d'ordre Modèle:Math, avec Modèle:Math La transformation de Hankel inverse de Modèle:Math est définie par :

$f(r)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)J_{\nu }(kr)k\mathrm{d}k.$

L'équivalence peut être obtenue par l'utilisation de l'orthogonalité des fonctions de Bessel.

Domaine de définition

La transformation de Hankel d'une fonction Modèle:Math est valide en tout point où Modèle:Math est continu, supposant que la fonction est définie sur (0, ∞), qu'elle y est continue par morceaux et de variation bornée sur tout sous-intervalle de (0, ∞), et qu'elle vérifie

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r)|r^{\frac{1}{2}}\mathrm{d}r<\mathrm{\infty }.$

Cependant, comme la transformation de Fourier, le domaine peut être étendu par un argument de densité pour inclure des fonctions pour lesquelles l'intégrale précédente n'est pas définie, par exemple $f(r)=(1+r{)}^{-3/2}$.

Orthogonalité

Les fonctions de Bessel forment une base orthogonale pour le produit scalaire suivant :

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{\nu }(kr)J_{\nu }(k^{\prime }r)r\mathrm{d}r=\frac{\delta (k-k^{\prime })}{k},k,k^{\prime }>0.$

Application des théorèmes de Parseval et Plancherel

Soient f(r) et g(r) deux fonctions de transformées de Hankel respectives Modèle:Math et Modèle:Math. Si celles-ci sont bien définies, alors le théorème de Plancherel donne

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)g(r)r\mathrm{d}r=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{F}_{\nu }(k)G_{\nu }(k)k\mathrm{d}k.$

En particulier, le théorème de Parseval donne :

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|f(r){|}^{2}r\mathrm{d}r=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}|F_{\nu }(k){|}^{2}k\mathrm{d}k,$

Ces deux résultats se déduisent simplement de la propriété d'orthogonalité.

Relation avec les autres transformations intégrales

Avec la transformation de Fourier

La transformation de Hankel d'ordre 0 est essentiellement la transformation de Fourier sur un espace de dimension 2 d'une fonction ayant une symétrie circulaire.

En effet, considérons une fonction Modèle:Math du vecteur radial Modèle:Math sur un espace de dimension 2. Sa transformée de Fourier est alors :

$F(𝐤)=\iint f(𝐫)e^{i𝐤\cdot 𝐫}\mathrm{d}𝐫.$

Sans perte de généralité, on munit l'espace d'un système de coordonnées polaires Modèle:Math tel que le vecteur Modèle:Math soit sur l'axe Modèle:Math. La transformée de Fourier se réécrit alors:

$F(𝐤)=\underset{r=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\underset{\theta =0}{\overset{2\pi }{\int }}f(r,\theta )e^{ikr\cos (\theta )}r\mathrm{d}\theta \mathrm{d}r$

où Modèle:Var désigne l'angle entre les vecteurs Modèle:Math et Modèle:Math. Si la fonction Modèle:Math présente une symétrie circulaire, elle est indépendante de la variable Modèle:Var et peut se réécrire Modèle:Math. L'intégration sur Modèle:Var se simplifie et il reste :

$F(𝐤)=F(k)=2\pi \underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(r)J_0(kr)r\mathrm{d}r$

ce qui correspond à Modèle:Math fois la transformée de Hankel d'ordre 0 de Modèle:Math. Quant à la transformation inverse,

$f(𝐫)=\frac{1}{(2\pi {)}^2}\iint F(𝐤)e^{-i𝐤\cdot 𝐫}\mathrm{d}𝐤=\frac{1}{2\pi }\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}F(k)J_0(kr)k\mathrm{d}k$

donc Modèle:Math est la transformée de Hankel inverse d'ordre 0 de Modèle:Math.

On peut généraliser au cas où Modèle:Math est développée en série multipolaire,

$f(r,\theta )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _{m=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{f}_m(r)e^{im\theta },$

et si Modèle:Math est l'angle entre la direction de Modèle:Math et l'axe Modèle:Math, alors

$\begin{array}{cc}F(𝐤)& =\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\mathrm{d}r\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta f(r,\theta )e^{ikr\cos (\theta -{\theta }_k)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _m\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\mathrm{d}r\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\theta f_m(r)e^{im\theta }{e}^{ikr\cos (\theta -{\theta }_k)}\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _m{e}^{im{\theta }_k}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\mathrm{d}r{f}_m(r)\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\mathrm{d}\phi e^{im\phi }{e}^{ikr\cos \phi }& & \phi =\theta -{\theta }_k\\ & =\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\sum _m{e}^{im{\theta }_k}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}r\mathrm{d}r{f}_m(r)2\pi i^m{J}_m(kr)\\ & =\sqrt{2\pi }\sum _m{i}^m{e}^{im{\theta }_k}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}_m(r)J_m(kr)r\mathrm{d}r.\\ & =\sqrt{2\pi }\sum _m{i}^m{e}^{im{\theta }_k}\sum _t{f}_{mt}\underset{0}{\overset{R}{\int }}{r}^m{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^t{J}_m(kr)r\mathrm{d}r& & (*)\\ & =\sqrt{2\pi }\sum _m{i}^m{e}^{im{\theta }_k}{R}^{m+2}\sum _t{f}_{mt}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^m(1-x^2{)}^t{J}_m(kxR)x\mathrm{d}x& & x=\frac{r}{R}\\ & =\sqrt{2\pi }\sum _m{i}^m{e}^{im{\theta }_k}{R}^{m+2}\sum _t{f}_{mt}\frac{t!2^t}{(kR{)}^{1+t}}{J}_{m+t+1}(kR).\end{array}$

Le terme Modèle:Math vient du fait que si Modèle:Math est assez lisse près de l'origine et nulle en dehors d'une boule de rayon Modèle:Var, elle peut être développée en série de Tchebychev,

$f_m(r)=r^m\sum _{t\ge 0}{f}_{mt}{(1-{\left(\frac{r}{R}\right)}^2)}^t,0\le r\le R.$

L'aspect important du point de vue numérique est que les coefficients du développement Modèle:Math peuvent être obtenus par des techniques similaires à une transformation de Fourier discrète.

Avec les transformations de Fourier et Abel

La transformée de Hankel est un membre du cycle Abel-Fourier-Hankel d'opérateurs intégraux. En deux dimensions, si on note Modèle:Var l'opérateur de la transformation d'Abel, Modèle:Var comme l'opérateur de la transformation de Fourier et Modèle:Var l'opérateur de la transformation de Hankel d'ordre 0, alors le Modèle:Lien appliquées aux fonctions ayant une symétrie circulaire donne :

$FA=H.$

Ainsi, la transformation de Hankel d'ordre 0 d'une fonction revient à une transformation d'Abel d'une fonction 1D puis à une transformation de Fourier.

Quelques transformées de Hankel

On se réfère à l'ouvrage de Papoulis.

$f(r)$	$F_0(k)$
$1$	$\frac{\delta (k)}{k}$
$\frac{1}{r}$	$\frac{1}{k}$
$r$	$-\frac{1}{k^3}$
$r^3$	$\frac{9}{k^5}$
$r^m$	$\frac{2^{m+1}\mathrm{\Gamma }(\frac{m}{2}+1)}{k^{m+2}\mathrm{\Gamma }(-\frac{m}{2})},-2<\mathrm{\Re }(m)<-\frac{1}{2}$
$\frac{1}{\sqrt{r^2+z^2}}$	$\frac{e^{-k|z|}}{k}=\sqrt{\frac{2|z|}{\pi k}}{K}_{-\frac{1}{2}}(k|z|)$
$\frac{1}{r^2+z^2}$	$K_0(kz)z\in 𝐂$
$\frac{e^{iar}}{r}$	$\frac{i}{\sqrt{a^2-k^2}}a>0,k<a.$
$e^{-\frac{1}{2}{a}^2{r}^2}$	$\frac{1}{a^2}{e}^{-\frac{k^2}{2a^2}}$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$
$f(r)$	$F_{\nu }(k)$
$r^s$	$\frac{2^{s+1}}{k^{s+2}}\frac{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(2+\nu +s))}{\mathrm{\Gamma }(\frac{1}{2}(\nu -s))}$
$r^{\nu -2s}\mathrm{\Gamma }(s,r^{2}h)$	$\frac{1}{2}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{2s-\nu -2}\gamma (1-s+\nu ,\frac{k^2}{4h})$
$e^{-r^2}{r}^{\nu }U(a,b,r^2)$	$\frac{\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b)}{2\mathrm{\Gamma }(2+\nu -b+a)}{\left(\frac{k}{2}\right)}^{\nu }{e}^{-\frac{k^2}{4}}{}_1{F}_1(a,2+a-b+\nu ,\frac{k^2}{4})$
$-r^{2}f(r)$	$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_{\nu }}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_{\nu }}{\mathrm{d}k}-\frac{{\nu }^2}{k^2}{F}_{\nu }$

Modèle:Math est la fonction de Bessel modifiée du second type. L'expression

$\frac{{\mathrm{d}}^2{F}_0}{\mathrm{d}{k}^2}+\frac{1}{k}\frac{\mathrm{d}{F}_0}{\mathrm{d}k}$

correspond à l'opérateur de Laplace en coordonnées polaires Modèle:Math appliquée à une fonction ayant une symétrie sphérique Modèle:Math.

Les transformées de Hankel des polynômes de Zernike sont des fonctions de Bessel (Noll 1976):

$R_n^m(r)=(-1{)}^{\frac{n-m}{2}}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{J}_{n+1}(k)J_m(kr)\mathrm{d}k$

pour tous Modèle:Math.

Voir aussi

• Transformation intégrale
• Transformation de Fourier
• Transformée d'Abel
• Série de Fourier généralisée
• Polynôme de Neumann

Références

Bibliographie

• Modèle:Ouvrage
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• Modèle:Article
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