Potentiel de Pöschl-Teller

Modèle:Voir homonymes Modèle:Ébauche En physique mathématique, un potentiel de Pöschl-Teller, nommé d'après les physiciens Herta Pöschl (crédité comme G. Pöschl) et Edward Teller, est une classe spéciale de potentiels pour lesquels l'équation de Schrödinger à une dimension peut être résolue en termes de fonctions spéciales.

Bien que Pöschl et Teller introduisirent, dans leur article de 1933, le potentiel sous sa forme générale

$V(x)=\frac{\nu (\nu -1)}{2{\sinh }^2(x)}-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2{\cosh }^2(x)},$

pour $\lambda ,\nu >1$, de nos jours la dénomination « potentiel de Pöschl–Teller » fait plutôt référence au cas symétrique $\nu =1$ pour $\lambda >0$ :

$V(x)=-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2{\cosh }^2(x)}.$

Solutions

Les solutions indépendantes du temps de l'équation (unidimensionnelle) de Schrödinger avec ce potentiel,

$-\frac{1}{2}{\psi }^{″}(x)+V(x)\psi (x)=E\psi (x),$

peuvent alors être déterminées grâce à la substitution $u=\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{h}(x)$ qui conduit à l'équation générale de Legendre

$[(1-u^2){\psi }^{\prime }(u)]+\lambda (\lambda +1)\psi (u)+\frac{2E}{1-u^2}\psi (u)=0$

dont les solutions sont les fonctions associées de Legendre $P_{\lambda }^{\mu }(u)$ et $Q_{\lambda }^{\mu }(u)$ de degré $\lambda \in ℂ$ et d'ordre $\mu \in ℂ$ lorsque $E=-{\mu }^2/2$.

Potentiel de Pöschl–Teller symétrique pour $\lambda =6$ (courbe noir) et ses six valeurs propres (lignes rouges) $E=-{\mu }^2/2,\mu =1,2,3,4,5,6$.

Cependant, seules les fonctions $P_{\lambda }^{-\mu }\circ \tanh$ pour $(\lambda ,\mu )$ tels que $(\lambda \in \mathbb{N}\text{ et }\mu =\pm (\lambda +1-j))$ ou $(0<\lambda \in ̸\mathbb{N}\text{ et }\mu =\lambda +1-j)$, où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$, sont dans $L^2(ℝ)$ et donc des fonctions propres de l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique. De plus, dans le cas $\lambda \in \mathbb{N}$, la fonction $P_{\lambda }^{\lambda +1-j}\circ \tanh$ ne diffère de $P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh$ que par une constante multiplicative, il s'agit donc d'une seule et même fonction propre.

Par conséquent, l'opérateur de Pöschl–Teller symétrique n'admet des valeurs propres que pour $\lambda >0$ et $\mu =\lambda +1-j$, où $j=1,\dots ,\lceil \lambda \rceil$, et ces $\lceil \lambda \rceil$ valeurs propres sont alors $E_j=-(\lambda +1-j{)}^2/2$, avec les fonctions propres associées $P_{\lambda }^{-(\lambda +1-j)}\circ \tanh$.

En outre, les données de diffusion à faible énergie peuvent être explicitement calculées.

Dans le cas particulier où $\lambda$ est un entier Modèle:Passage à vérifier, le potentiel est sans réflexion et de tels potentiels peuvent également être solutions N-solitons de l'équation de Korteweg–de Vries.

Potentiel de Rosen-Morse

Un potentiel lié, le potentiel de Rosen-Morse, possède un terme supplémentaire :

$V(x)=-\frac{\lambda (\lambda +1)}{2{\cosh }^2(x)}-g\tanh (x).$

Voir aussi

Articles connexes

• Potentiel de Morse