Principe variationnel d'Ekeland

Modèle:Autre4 Le principe variationnel d'Ekeland est un théorème d'analyse mathématique, découvert par Ivar EkelandModèle:,Modèle:,, qui garantit l'existence de solutions presque optimales à certains problèmes d'optimisation.

Il peut être utilisé lorsque l'espace métrique des variables du problème d'optimisation n'est pas compact — ce qui empêche d'appliquer le théorème de Bolzano-Weierstrass — mais seulement complet.

Sa forme faible permet de démontrer rapidement le théorème du point fixe de Caristi. De plus, cette propriété des espaces complets les caractérise (parmi les espaces métriques).

Énoncé

Soient :

• Modèle:Math un espace métrique complet,
• Modèle:Math une application semi-continue inférieurement et non [[Fonction constante|constamment égale à Modèle:Math]],
• Modèle:Math un réel strictement positif et
• Modèle:Math un point de Modèle:Math tel que Modèle:Math.

Alors, pour tout Modèle:Math, il existe un point Modèle:Math de Modèle:Math tel que :

• $f(y)\le f(x),$
• $d(x,y)\le \delta \text{ et}$
• $\mathrm{\forall }z\in X\setminus \{y\}f(z)>f(y)-\frac{\epsilon }{\delta }d(y,z).$

Variantes

L'énoncé usuel ci-dessus équivaut à son cas particulier Modèle:Math (en remplaçant Modèle:Math par Modèle:Math et Modèle:Math par Modèle:Math), ainsi qu'aux quatre variantes suivantes. Il est commode, pour formuler et démontrer tous ces théorèmes, d'associer à Modèle:Math le préordre ≼ défini par : Modèle:Math.

Démonstrations

Dans les variantes ci-dessus, on a évidemment 1 ⇒ 2, 3 ⇒ 4 et, en notant 2½ la version Modèle:Math de l'énoncé usuel, 2 ⇒ 2½ et 2½ ⇒ 3.

• Preuve de 1 : à partir de Modèle:Math, on définit par récurrence une suite Modèle:Math, en notant Modèle:Math l'ensemble des ≼-minorants de Modèle:Math et en choisissant dans Modèle:Math un point Modèle:Math tel que Modèle:Math. L'[[Théorème des fermés emboités|unique point Modèle:Math commun]] aux fermés Modèle:Math est alors solution.
• 4 ⇒ 1, en changeant d'espace : le sous-espace des ≼-minorants d'un point arbitraire de Modèle:Math est fermé donc complet.
• Si Modèle:Math vérifie 3 (ou même seulement 4) pour toute application Modèle:Math comme dans l'énoncé, alors il est completModèle:, : soit Modèle:Math une suite de Cauchy dans Modèle:Math. L'application Modèle:Math définie sur Modèle:Math par Modèle:Math est uniformément continue. Soit Modèle:Math minimal pour l'ordre ≼ associé à Modèle:Math. Pour tout entier naturel Modèle:Math, Modèle:Math donc par passage à la limite, Modèle:Math, par conséquent Modèle:Math, autrement dit Modèle:Math converge vers Modèle:Math.

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