Problème de Fekete

En mathématiques, le problème de Fekete est, étant donné un entier naturel N et un réel s ≥ 0, de trouver les points x ₁, ..., x _N sur la 2-sphère pour lesquels la s-énergie, définie par

$\sum _{1\le i<j\le N}\Vert x_i-x_j{\Vert }^{-s}$

pour s > 0 et par

$\sum _{1\le i<j\le N}\log \Vert x_i-x_j{\Vert }^{-1}$

pour s = 0, est minimale. Pour s > 0, ces points sont appelés s-points de Fekete et, pour s = 0, points de Fekete logarithmiques (voir Saff & Kuijlaars (1997)). Plus généralement, on peut considérer le même problème sur la sphère d- dimensionnelle, ou sur une variété riemannienne (auquel cas ||x_i − x_j|| est remplacé par la distance riemannienne entre x_i et x_j ).

Le problème trouve son origine dans l'article de Michael Fekete (1923), qui a considéré que le cas unidimensionnel avec s = 0 cas, répondant à une question d'Issai Schur.

Une version algorithmique du problème de Fekete est le numéro 7 sur la liste des problèmes discutés par Smale (1998).

Références

• Modèle:Article