Problème de la chèvre

Modèle:Voir homonymes En mathématiques récréatives, le problème de la chèvre est le nom donné à divers problèmes concernant la superficie qu'une chèvre attachée à un pieu peut brouter en liaison avec la longueur de sa corde, dans diverses situations. On présente ici deux variantes classiques, ayant la particularité rare en mathématiques récréatives d'obliger à résoudre des équations non algébriques, la première demandant de surcroit un calcul d'aire non élémentaire. On trouvera dans les références suivantes de nombreuses autres variantesModèle:,Modèle:,.

Première variante : chèvre attachée à une tour

Énoncé

Une chèvre est attachée à une tour circulaire (ou un silo) de rayon Modèle:Mvar située dans un champ. Sachant que sa corde est de longueur Modèle:Mvar, quelle superficie d'herbe pourra-t-elle brouter ?

Réponse

Si Modèle:Mvar est inférieure ou égale à $\pi R$, la superficie atteignable vaut $(\frac{\pi }{2}+\frac{L}{3R})L^2$.

Pour $L>\pi R$, il faut retrancher à cette valeur $R^2(\frac{{\tan }^{3}u}{3}-\alpha )$, où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$ , $u\in ]0,\pi /2[$.

Pour une longueur de corde égale à la circonférence de la tour, on trouve par exemple $S\approx 117,6R^2$. Cela donne une surface de broutage égale à Modèle:Nombre carrés pour le problème historique ci-après.

Historique

Ce problème a été publié dans l'édition de 1748 de la revue annuelle anglaise The Ladies' Diary, sous la question Modèle:Nobr romains attribuée à un certain Upnorensis :

Un cheval se trouvant dans un parc, avec l'extrémité d'une corde attachée à son pied avant, et l'autre extrémité à une clôture circulaire métallique entourant un étang de circonférence 160 yards, égale à la longueur de la corde, quelle superficie au plus le cheval peut-il brouter?Modèle:Démonstration/début

L'aire balayée par la corde est formée d'un demi-disque de rayon L et de deux fois l'aire balayée par le segment tangent au cercle dont l'extrémité décrit la développante de cercle d'équation

$x=R\cos t+Rt\sin t,y=R\sin t-Rt\cos t$, pour Modèle:Mvar allant de 0 à Modèle:Mvar.

D'après le théorème de Mamikon, cette aire est la même que si la corde était attachée à un point fixe, autrement dit, l'aire balayée par le vecteur

$(Rt\sin t,-Rt\cos t)$.

À un changement de repère près, cette aire est celle décrite par le rayon vecteur de la spirale d'Archimède d'équation polaire $\rho =R\theta$, pour $\theta$ allant de allant de 0 à Modèle:Mvar. En utilisant la formule de l'aire en polaires $S=1/2\int {\rho }^{2}d\theta$, on trouve $S=R/6(L/R{)}^3=\frac{L^3}{6R}$.

D'où l'aire balayée totale : $\frac{\pi L^2}{2}+\frac{L^3}{3R}$.

Modèle:Démonstration/début En utilisant les notations de la figure ci-contre, l'aire de la zone 1 vaut $\pi L^2/2$, et celle de la zone 2+3+4 vaut toujours $L^3/(6R)$ , or il faut retirer maintenant la zone 4.

On trouve (voir plus loin) que la zone 4+5 vaut $R^2({\tan }^{3}u)/6$ où Modèle:Mvar est solution de $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$, ($\alpha =\pi /2$ sur la figure).

La zone 5 vaut évidemment $\alpha R^2/2$.

Donc l'aire de broutage est égale à $S=\pi \frac{L^2}{2}+\frac{L^3}{3R}-2R^2(\frac{{\tan }^{3}u}{6}-\frac{\alpha }{2})$ où $\tan u-u=\alpha =L/R-\pi$.

Démonstration du calcul de l'aire de la zone 4+5

Il s'agit de l'aire balayée par le rayon vecteur du point de départ de la développante à un angle $\alpha$.

Or en coordonnées polaires, celle-ci a pour paramétrisation $\rho =R/\cos u,\theta =\tan u-u$

L'aire est donc égale à $1/2\int {\rho }^{2}d\theta$, qui s'intègre en $R^2({\tan }^{3}u)/6$, d'où le résultat.

Deuxième variante : chèvre pouvant brouter la moitié du pré

Énoncé

Un chèvre étant attachée à un pieu situé à la circonférence d'un pré circulaire de rayon Modèle:Mvar, quelle doit être la longueur Modèle:Mvar de sa corde pour qu'elle n'ait accès qu'à la moitié de la surface du pré?

Réponse

$L=2\cos \frac{u}{2}.R$ où $u$ est solution de $\sin u-u\cos u=\pi /2$ d'où $L\approx 1,15873.R$

Les décimales de $k=L/R$ sont données par la Modèle:OEIS, et celles de $u$ par la Modèle:OEIS.

Historique

Le problème a été publié sans habillage animalier en 1894 dans la première édition de la célèbre revue American Mathematical Monthly. Attribué à Charles E. Myers, il a été rédigé comme suit :

Un cercle renfermant un acre est coupé par un autre dont le centre est sur la circonférence du cercle donné, et l'aire commune aux deux est d'un demi-acre. Trouver le rayon du cercle de coupe.

Démonstration trigonométrique

Avec les notations de la figure, l'angle Modèle:Mvar, noté Modèle:Mvar, est Le double de l'angle Modèle:Mvar, d'après le théorème de l'angle inscrit ; ce dernier vaut donc Modèle:Mvar/2, et l'angle Modèle:Mvar vaut $y=(\pi -x)/2$. L'aire du secteur de cercle Modèle:Mvar vaut donc $(\pi -x)L^2/4$ ; comme $L=2R\sin (x/2)$, cette aire vaut $(\pi -x){\sin }^2(x/2)R^2$.

L'aire du segment de disque bleu est égale à l'aire du secteur Modèle:Mvar moins celle du triangle Modèle:Mvar, soit $(x-\sin x)R^2/2$.

L'aire de broutage égale à la moitié de celle du pré s'exprime donc par la relation $2(\pi -x){\sin }^2(x/2)R^2+(x-\sin x)R^2=\pi R^2/2$, laquelle se simplifie en :

$\sin x-(x-\pi )\cos x=\pi /2$, avec $L=2R\sin (x/2)$.

Posant $u=\pi -x$, on obtient bien :

$\sin u-u\cos u=\pi /2$, avec $L=2R\cos (u/2)$.

Utilisation de la formule de l'aire d'une lentille

L'aire d'une lentille intersection de deux disques s'exprime en fonction des rayons Modèle:Mvar et Modèle:Mvar et de la distance Modèle:Mvar entre les centres par la formule :

$S=r^2\arccos \left(\frac{d^2+r^2-R^2}{2dr}\right)+R^2\arccos \left(\frac{d^2+R^2-r^2}{2dR}\right)-2\mathrm{\Delta }$

avec

$\mathrm{\Delta }=\frac{1}{4}\sqrt{(-d+r+R)(d-r+R)(d+r-R)(d+r+R)}$

On est ici dans le cas $r=L,d=R$, et exprimer que $S=\pi R^2/2$ donne l'équation :

$\frac{\pi }{2}=k^2\arccos \frac{k}{2}+\arccos (1-\frac{k^2}{2})-\frac{k}{2}\sqrt{4-k^2}$ où $k=L/R$.

Lien externe

• Modèle:MathWorld, présentant les deux variantes
• Modèle:Youtube.