Processus arrêté

Modèle:Ébauche En théorie des probabilités, un processus arrêté est un processus stochastique qui garde la même valeur à partir d'un instant donné (éventuellement aléatoire). Par exemple, dans la modélisation d'un jeu d'argent, comme une succession de mises à la roulette, ce concept peut rendre compte de la notion d'arrêt au bout d'un certain nombre de parties, ou d'arrêt quand un certain seuil de gain ou de perte a été franchi, sans devoir écrire une modélisation spécifique pour chaque condition d'arrêt, mais en exploitant celle du « jeu de roulette infini » comme cadre général.

Définition

Soient

• $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ un espace de probabilité;
• $(𝕏,𝒜)$ un espace mesurable, l'espace d'états ;
• $X:[0,+\mathrm{\infty })\times \mathrm{\Omega }\to 𝕏$ un processus stochastique ;
• $\tau :\mathrm{\Omega }\to [0,+\mathrm{\infty }]$ un temps d'arrêt par rapport à une filtration $\{{ℱ}_t|t\ge 0\}$ de la σ-algèbre $ℱ$.

Le processus arrêté $X^{\tau }$ est défini pour $t\ge 0$ et $\omega \in \mathrm{\Omega }$ par: $X_t^{\tau }(\omega ):=X_{\min \{t,\tau (\omega )\}}(\omega )$