Processus d'Ornstein-Uhlenbeck

En mathématiques, le processus d'Ornstein-Uhlenbeck, nommé d'après Leonard Ornstein et George Uhlenbeck et aussi connu sous le nom de Modèle:Lang, est un processus stochastique décrit par l'équation différentielle stochastique

$d{r}_t=-\theta (r_t-\mu )dt+\sigma d{W}_t,$

où θ, μ et σ sont des paramètres déterministes et W_t est le processus de Wiener.

Trois exemples du processus d'Ornstein-Uhlenbeck avec θ=1, μ=1.2, σ=0.3:
Bleu : Valeur initiale a=0 (p. s.)
Vert : Valeur initiale a=2 (p. s.)
Rouge : Valeur initiale distribuée normalement ainsi le procédé a une mesure invariante

Solution

Cette équation est résolue par la méthode de variation des constantes. Appliquons le lemme d'Itō à la fonction $f(r_t,t)=r_t{e}^{\theta t}$ pour obtenir

$df(r_t,t)=\theta r_t{e}^{\theta t}dt+e^{\theta t}d{r}_t=e^{\theta t}\theta \mu dt+\sigma e^{\theta t}d{W}_t.$

En intégrant de 0 à t, on obtient

$r_t{e}^{\theta t}=r_0+\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\theta s}\theta \mu ds+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta s}d{W}_s$

d'où nous voyons

$r_t=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta (s-t)}d{W}_s.$

Ainsi, le premier moment est donné (en supposant que $r_0$ est une constante) par :

$E(r_t)=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t}).$

$s\wedge t=\min (s,t)$ On peut utiliser l'Modèle:Lien pour calculer la covariance

$\mathrm{cov}(r_s,r_t)=E[(r_s-E[r_s])(r_t-E[r_t])]$

$=E[\underset{0}{\overset{s}{\int }}\sigma e^{\theta (u-s)}d{W}_u\underset{0}{\overset{t}{\int }}\sigma e^{\theta (v-t)}d{W}_v]$

$={\sigma }^2{e}^{-\theta (s+t)}E[\underset{0}{\overset{s}{\int }}{e}^{\theta u}d{W}_u\underset{0}{\overset{t}{\int }}{e}^{\theta v}d{W}_v]$

$=\frac{{\sigma }^2}{2\theta }{e}^{-\theta (s+t)}(e^{2\theta (s\wedge t)}-1).$

Il est aussi possible (et souvent commode) de représenter $r_t$ (sans condition) en tant que mesure transformée du temps du processus Wiener :

$r_t=\mu +\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W(e^{2\theta t})e^{-\theta t}$

ou avec condition ($r_0$ donné) comme

$r_t=r_0{e}^{-\theta t}+\mu (1-e^{-\theta t})+\frac{\sigma }{\sqrt{2\theta }}W(e^{2\theta t}-1)e^{-\theta t}.$

Le processus d'Ornstein-Uhlenbeck (un exemple de processus gaussien à variance bornée) admet une distribution de probabilité stationnaire, contrairement au processus de Wiener.

L'intégrale temps de ce processus peut être utilisée pour générer un bruit avec un spectre de puissance 1/f.

Application

Le Modèle:Lien des taux d'intérêt est un exemple de processus d'Ornstein-Uhlenbeck où les coefficients sont positifs et constants.

Le Processus CIR, le modèle de Cox, Ingersoll et Ross (1985) est une extension du modèle de Vasicek et du processus d'Ornstein-Uhlenbeck qui introduit la racine carrée du taux d'intérêt instantané dans le coefficient du terme stochastique.

Bibliographie

• Modèle:Article.