Processus de Kiefer

Le processus de Kiefer est un mouvement brownien $(K(t,x){)}_{0\le t\le 1,x\ge 0}$ à deux paramètres introduit par le mathématicien américain Jack Kiefer afin de voir le processus empirique comme un processus gaussien à deux paramètres. En particulier, en fixant le paramètre $x$ le processus de Kiefer est un pont brownien et en fixant le paramètre $t$ il devient un mouvement brownien.

Définition et propriétés

Soit $W(t,x)$ un processus de Wiener (ou mouvement brownien) à deux paramètres. Un processus de Kiefer $(K(t,x){)}_{0\le t\le 1,x\ge 0}$ est défini par

$K(t,x)=W(t,x)-tW(1,x).$

Le processus de Kiefer vérifie les propriétés suivantes :

• Si on fixe le paramètre $t$, le processus de Kiefer est un mouvement brownien. Formellement,
  $\mathrm{\forall }0<t_0<1,W(x)=\frac{K(t_0,x)}{\sqrt{t_0(1-t_0)}},x\ge 0$
  est un mouvement brownien ;
• Si on fixe le paramètre $x$, le processus de Kiefer est un pont brownien. Formellement,
  $\mathrm{\forall }{x}_0>0,P(t)=\frac{K(t,x_0)}{\sqrt{x_0}},0\le t\le 1$
  est un pont brownien. ;
• $P_n(t)=K(t,n)-K(t,n-1),0\le t\le 1,n\in {\mathbb{N}}^{*}$ est une suite de ponts browniens indépendants ;
• $𝔼[K(t,x)]=0$ et la fonction de covariance de $K(t,x)$ est donnée par
  $𝔼[K(t_1,x_1)K(t_2,x_2)]=(t_1\wedge t_2-t_1{t}_2)(x_1\wedge x_2).$

Approximation forte du processus empirique

Modèle:Article détaillé Jack Kiefer fut le premier mathématicien à considérer le processus empirique ${\alpha }_n(t)$ comme un processus à deux paramètres et que celui-ci devait par conséquent être approché par un processus gaussien bidimensionnel. Il prouve notamment que si $(U_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur $[0,1]$, il existe un processus de Kiefer $(K(t,x){)}_{0\le t\le 1,x\ge 0}$ vérifiant presque-sûrement

$\underset{t\in [0,1]}{\sup }|\sqrt{n}{\alpha }_n(t)-K(t,n)|=O(n^{1/3}(\log n{)}^{2/3}).$

Les mathématiciens Komlós, Tusnády et Major approchent fortement le processus empirique uniforme avec le processus de Kiefer avec une meilleure borneModèle:,. Précisément, si $(U_n{)}_{n\in {\mathbb{N}}^{*}}$ est une suite de variables i.i.d. de loi uniforme sur $[0,1]$ alors il existe un processus de Kiefer $(K(t,x){)}_{0\le t\le 1,x\ge 0}$ tel que pour tout $x,n$, presque-sûrement

$\mathbb{P}(\underset{1\le k\le n}{\max }\underset{t\in [0,1]}{\sup }|k^{1/2}{\alpha }_k(t)-K(t,k)|>(C\log n+x)\log n)<L{e}^{-\lambda x}$

où $C,\lambda ,L$ sont des constantes universelles positives. Ce qui entraîne d'après le lemme de Borel-Cantelli : presque-sûrement,

$\underset{0\le t\le 1}{\sup }|n^{1/2}{\alpha }_n(t)-K(t,n)|=O({\log }^{2}n).$