Produit matriciel de Hadamard

Illustration du produit de Hadamard: il s'applique à deux matrices de mêmes dimensions et la matrice en resultant a les mêmes dimensions également.

En mathématiques, le produit matriciel de Hadamard, nommé d'après le mathématicien français Jacques Hadamard et parfois désigné produit de Schur, est une opération binaire qui pour deux matrices de mêmes dimensions, associe une autre matrice, de même dimension, et où chaque coefficient est le produit terme à terme des deux matrices. En cela, il est à distinguer du produit matriciel usuel.

Le produit matriciel de Hadamard est associatif et distributif, et contrairement au produit matriciel classique, commutatif.

Définition

Formellement, pour deux matrices de mêmes dimensions

$A,B\in {ℂ}^{m\times n}$

le produit de Hadamard $A\cdot B$ est une matrice

$A\cdot B\in {ℂ}^{m\times n},$

dont les coefficients sont

$(A\cdot B{)}_{i,j}=(A{)}_{i,j}\times (B{)}_{i,j}.$

Propriétés

• Le produit de Hadamard est commutatif, associatif et distributif sur l'addition :
  • $A\cdot B=B\cdot A,$
  • $A\cdot (B\cdot C)=(A\cdot B)\cdot C,$
  • $A\cdot (B+C)=A\cdot B+A\cdot C.$
• L'élément neutre pour le produit de Hadamard de deux matrices de taille Modèle:Math est une matrice Modèle:Math dont tous les éléments sont égaux à 1, contrairement à la matrice identité, qui est l'élément neutre du produit matriciel classique et dont les coefficients valent 1 sur la diagonale et 0 sinon. Ainsi, une matrice admet une inverse pour le produit de Hadamard si et seulement si tous ses éléments sont non nuls.
• $(A\cdot B{)}^T=A^T\cdot B^T\mathrm{e}\mathrm{t}(A\cdot B{)}^{*}=A^{*}\cdot B^{*}$, où Modèle:Math (respectivement Modèle:Math) désigne la matrice transposée (resp. la matrice adjointe) de Modèle:Math. En particulier, le produit de Hadamard de deux matrices Modèle:Math symétriques (resp. hermitiennes) est une matrice symétrique (resp. hermitienne).
• Si Modèle:Math est diagonale alors $D(A\cdot B)=(DA)\cdot B.$
• En notant Modèle:Math le Modèle:Math-ème vecteur de la base canonique de ℂModèle:Exp et, pour tout vecteur Modèle:Math, Modèle:Math la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont les coordonnées de Modèle:Math, on remarque que l'élément d'indice Modèle:Math du produit de Hadamard est égal au Modèle:Math-ème élément diagonal de Modèle:Math :$(A\cdot B{)}_{i,j}=(A{D}_{e_j}{B}^T{)}_{i,i}=\mathrm{T}\mathrm{r}(D_{e_i}A{D}_{e_j}{B}^T).$On en déduit immédiatement :
  • $x^{*}(A\cdot B)y=\mathrm{T}\mathrm{r}(D_x^{*}A{D}_y{B}^T)$ ;
  • la somme des coefficients de la i-ème ligne du produit de Hadamard est égale au i-ème élément diagonal de Modèle:Math :Modèle:Retrait
  • la somme de tous les éléments du produit de Hadamard est la trace de Modèle:Math.
• Le produit de Hadamard est une sous-matrice principale du produit de Kronecker.

Théorème du produit de Schur

Modèle:Voir Le produit de Hadamard de deux matrices Modèle:Math hermitiennes positives (resp. définies positives) est une matrice (Modèle:Math) hermitienne positive (resp. définie positive). C'est le théorème du produit de Schur démontré pour la première fois par Issai Schur.

Pour deux matrices hermitiennes positives A et B, on a aussi

$\det (A\cdot B)\ge \det (AB)$Modèle:,.

Applications

Le produit de Hadamard est utilisé en compression de données comme le JPEG.

Il est également utilisé en apprentissage automatique dans la formalisation de certains modèles, notamment dans le cadre des réseaux de neurones artificiels.