Produit tensoriel et représentations de groupes finis

En mathématiques et plus précisément dans le cadre de la théorie des représentations d'un groupe fini, le produit tensoriel est une technique permettant de construire une représentation d'un groupe fini à partir de deux autres.

Une représentation d'un groupe produit est irréductible si et seulement si elle est le produit tensoriel de représentations irréductibles de chacun des deux facteurs.

Produit tensoriel

Produit tensoriel de deux espaces vectoriels

Modèle:Article détaillé Soient V et W deux espaces vectoriels sur un corps K. Le produit tensoriel de V et W, noté V⊗W, est un espace vectoriel muni d'une application bilinéaire canonique de V×W dans V⊗W, initial au sens suivant : toute application bilinéaire de V×W dans un espace vectoriel E se factorise de façon unique par une application linéaire de V⊗W dans E. Cet espace V⊗W (muni de son application bilinéaire canonique) est donc unique à isomorphisme près, comme solution de ce problème universel. Son existence est démontrée dans l'article détaillé.

Le cas particulier E=K fournit un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires sur V×W et l'espace dual (V⊗W)*. Cet espace de formes bilinéaires étant par ailleurs identifiable à Hom(V,W*) ainsi qu'à Hom(W,V*), il est isomorphe à V*⊗W* dès que V ou W est de dimension finie.

En caractéristique différente de 2, les tenseurs symétriques et antisymétriques de V⊗V forment deux sous-espaces supplémentaires, notés Sym(V) et Alt(V).

Si (a_i) (resp. (b_j)) est une base de V (resp. W), alors les images canoniques dans V⊗W des couples (a_i,b_j), notées a_i⊗b_j, forment une base de V⊗W.

Passage aux endomorphismes

Modèle:Article détaillé À tout endomorphisme φ de V et tout endomorphisme ψ de W est associé un endomorphisme de V⊗W noté φ⊗ψ et caractérisé par :

$(\phi \otimes \psi )(u\otimes v)=\phi (u)\otimes \psi (v).$

Ce produit tensoriel est compatible avec la composition :

$(\phi \circ {\phi }^{\prime })\otimes (\psi \circ {\psi }^{\prime })=(\phi \otimes \psi )\circ ({\phi }^{\prime }\otimes {\psi }^{\prime }),$

et φ⊗ψ est bijectif si et seulement si φ et ψ le sont.

Sym(V) et Alt(V) sont stables par φ⊗φ.

Si (α_i,k) (resp (β_j,l)) désigne la matrice de φ (resp. ψ) dans les bases précédentes (supposées finies), alors la matrice de φ⊗ψ dans la base (a_i⊗b_j) a pour coefficients ${\alpha }_{i,k}{\beta }_{j,l}$, c'est-à-dire que

$(\phi \otimes \psi )(a_k\otimes b_l)=\sum _{i,j}{\alpha }_{i,k}{\beta }_{j,l}{a}_i\otimes b_j.$

On en déduit que la trace de φ⊗ψ (somme des termes diagonaux de cette matrice) est égale au produit des traces de φ et ψ :

$\mathrm{T}\mathrm{r}(\phi \otimes \psi )=\sum _{i,j}{\alpha }_{i,i}{\beta }_{j,j}=\mathrm{T}\mathrm{r}(\phi )\mathrm{T}\mathrm{r}(\psi ).$

Définitions

Représentation d'un groupe produit par produit tensoriel

Soient (V₁, ρModèle:Exp) une représentation d'un groupe G₁ et (V₂, ρModèle:Exp) une représentation d'un groupe G₂. Leur produit tensoriel est la représentation (V₁⊗V₂, ρModèle:Exp⊗ρModèle:Exp) du groupe produit G₁×G₂ définie par :

$({\rho }^1\otimes {\rho }^2{)}_{(s,t)}=({\rho }^1{)}_s\otimes ({\rho }^2{)}_t.$

Représentations d'un même groupe par produit tensoriel

Soient (V₁, ρModèle:Exp) et (V₂, ρModèle:Exp) deux représentations d'un groupe G. Leur produit tensoriel (V₁⊗V₂, ρModèle:Exp⊗ρModèle:Exp) peut désigner (selon le contexte) ou bien la représentation de G×G définie dans la section précédente, ou bien la représentation de G déduite de celle-ci par composition avec le morphisme diagonal de G dans G×G :

$({\rho }^1\otimes {\rho }^2{)}_s=({\rho }^1{)}_s\otimes ({\rho }^2{)}_s.$

Les carrés symétrique et alterné d'une représentation (V, ρ) de G sont les deux sous-représentations, sur Sym(V) et Alt(V), de la représentation ρ⊗ρ de G.

Propriétés

Caractères

• Le caractère d'une représentation de G₁×G₂ de la forme ρModèle:Exp⊗ρModèle:Exp est le produit tensoriel des caractères de ρModèle:Exp et ρModèle:Exp.
• Le caractère d'une représentation de G de la forme ρModèle:Exp⊗ρModèle:Exp est le produit des caractères de ρModèle:Exp et ρModèle:Exp.

Représentations irréductibles d'un groupe produit

On suppose ici que la caractéristique de K ne divise pas l'ordre du groupe G₁×G₂, et que le polynôme X^e - 1, où e désigne l'exposant de ce groupe, est scindé sur K.

On s'intéresse particulièrement aux représentations irréductibles car elles forment une base de toutes les autres (cf théorème de Maschke).

• Toute représentation irréductible de G₁×G₂ est de la forme ρModèle:Exp⊗ρModèle:Exp, et une représentation de cette forme est irréductible si et seulement si ρModèle:Exp et ρModèle:Exp le sont.

(Ceci contraste avec la somme directe ρModèle:Exp⊕ρModèle:Exp, qui n'est jamais irréductible, car V₁ x {0} et {0} x V₂ sont toujours des sous-espaces invariants.)

Cette propriété résulte immédiatement de la structure des algèbres des groupes G₁ et G₂, en remarquant que leur produit tensoriel est isomorphe à l'algèbre du groupe produit. Dans le cas particulier où K est de caractéristique nulle, elle peut aussi se démontrer en étudiant les caractères irréductibles.

Références

Lien externe

Modèle:Lien web du cours de M2 de Michel Broué (Université Paris VII - Diderot), et corrigé

Ouvrages

• Modèle:Serre2
• Modèle:Hall1
• Modèle:Lang1
• N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. VIII