Quantification semi-classique

En physique, la quantification semi-classique est une procédure simplifiée permettant de quantifier — dans le cadre de la théorie des quanta — un système physique à partir de ses ingrédients classiques, notamment ses trajectoires. Michael Berry utilise à ce propos la formulation imagée : Modèle:Citation. Cette procédure simplifiée, qui n'utilise pas l'appareil mathématique complet de la mécanique quantique, est supposée valide dans le régime semi-classique.

La plus ancienne de ces procédures, concernant la quantification de l'atome d'hydrogène, est due à Bohr (1913), donnant lieu au célèbre « modèle de Bohr » à orbites circulaires. Cette procédure fut étendue par Sommerfeld afin d'inclure les orbites elliptiques.

Quantification EBK d'un système intégrable

En 1917, Einstein généralisa à tout système intégrable conservatif la procédure de Bohr-Sommerfeld. La méthode générale d'Einstein fut précisée par Brillouin, puis Keller, donnant lieu à la Modèle:Lien.

Pour un système intégrable conservatif à N degrés de liberté, il existe en effet N variables d'action qui sont toutes des constantes du mouvement. Ainsi, la dynamique classique d'un système intégrable est elle restreinte à un tore invariant à N dimensions dans l'espace des phases, caractérisé par la valeurs des N actions.

La quantification EBK consiste à n'autoriser que des actions multiples entier (à une constante près) du quantum d'action ; si $C_i$ est un contour fermé sur le tore invariant, on pose :

$\underset{C_i}{\int }\overrightarrow{p}\cdot \overrightarrow{dq}=(n+\frac{{\alpha }_i}{4})2\pi \hslash ,n=1,2,\dots$

Les entiers positifs ${\alpha }_i$ sont des indices de Maslov.

Quantification d'un système non intégrable

La méthode EBK ne s'applique que pour de systèmes intégrables. Lorsque le système n'est pas intégrable, a fortiori lorsque le système est chaotique, une procédure de quantification semi-classique de l'énergie du système est fournie par la formule des traces de Gutzwiller.

Voir aussi

Article connexe

Physique semi-classique

Géométrie spectrale

Bibliographie

Vulgarisation

Modèle:En Lorenzo J. Curtis et David G. Ellis, « Use of the Einstein–Brillouin–Keller action quantization », American Journal of Physics, vol. 72, Modèle:N°, 2004, Modèle:P. Modèle:Lire en ligne.

Ouvrages de référence

• Modèle:En Martin C. Gutzwiller, Chaos in Classical and Quantum Mechanics, Springer-Verlag, 1990 Modèle:ISBN.
• Modèle:Lien, Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques, Dunod, 1972.

Articles historiques

• Modèle:De Albert Einstein, « Zum Quantensatz von Sommerfeld und Epstein », Verh. Deutsch. Phys. Ges., vol. 19, 1917, Modèle:P.. Reproduit dans : The Collected Papers of Albert Einstein, vol. 6, A. Engel (trad.), Princeton University Press, 1997, Modèle:P..
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