Régime semi-classique

Modèle:Article détailléLe régime semi-classique d'un système physique en mécanique quantique est le régime pour lequel les actions du système physique étudié sont grandes devant le quantum d'action $\hslash$. Mathématiquement, cela revient à effectuer un développement asymptotique des grandeurs quantiques au voisinage de $\hslash =0$.

L'étude du régime semi-classique est en général non-triviale, car la limite $\hslash \to 0$ de la mécanique quantique est singulière au sens de la théorie des perturbations. Pour illustrer ce point, considérons par exemple une particule non relativiste de masse m soumise à une force conservative dérivant de l'énergie potentielle $V(\overrightarrow{r})$. La recherche des états propres de l'énergie passe par la résolution de l'équation de Schrödinger indépendante du temps :

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }{\psi }_n(\overrightarrow{r})+V(\overrightarrow{r}){\psi }_n(\overrightarrow{r})=E_n{\psi }_n(\overrightarrow{r})$

dont la limite $\hslash =0$ est singulière, car ce n'est plus une équation aux dérivées partielles, la limite portant notamment sur le terme de plus haut degré.

Articles liés

• Approximation BKW
• Physique semi-classique
• Formule des traces de Gutzwiller
• Théorie des perturbations
• Géométrie spectrale
• Opérateur pseudo-différentiel
• Opérateur Fourier intégral
• Analyse microlocale

Bibliographie

Revues générales

• Modèle:En Michael Berry et K. E. Mount, « Semiclassical approximations in wave mechanics », Reports on Progress in Physics 35 (1972), 315-397. pdf.
• Modèle:En Michael Berry, « Some quantum-to-classical asymptotics », Chaos & Quantum Physics, Les Houches Lecture Series LII eds. M-J Giannoni, A Voros et J. Zinn-Justin, North-Holland (1989), 251-304. pdf.
• Modèle:Chapitre.
• Modèle:En André Voros, « Semi-classical approximations », Annales de l'institut Henri Poincaré A 24 (1) (1976), 31-90. Numdam.

Aspects mathématiques

• Bernard Helffer, 30 ans d'analyse semi-classique : bibliographie commentée (essai inachevé), 2003, PostScript.
• Modèle:En Didier Robert, « Semi-classical approximation in quantum mechanics. A survey of old and recent mathematical results », Helvetica Physica Acta 71 (1) (1997), 44-116.
• Modèle:En André Martinez, An Introduction to Semiclassical and Microlocal Analysis, Springer-Verlag, 2002 Modèle:ISBN.
• Didier Robert, Autour de l'approximation semi-classique, Progress in Mathematics 68, Birkhäuser, 1987.
• Modèle:En Bernard Helffer, Introduction to the semi-classical Analysis for the Schrödinger operator and applications, Lecture Notes in Mathematics 1336, Springer-Verlag (1986).
• Modèle:Lien, Théorie des perturbations et méthodes asymptotiques, Dunod, 1972.
• Bernard Helffer, André Martinez et Didier Robert, « Ergodicité et limite semi-classique », Commun. Math. Phys. 109 (1987), 313-326.
• Modèle:En Bernard Helffer, « h-pseudodifferential operators and applications: an introduction », Tutorial Lectures in Minneapolis. The IMA Volumes in Mathematics and its Applications 95 : Quasiclassical Methods, Springer Verlag, 1997, 1-50.
• Modèle:En Mouez Dimassi et Johannes Sjöstrand, Spectral Asymptotics in the Semi-Classical Limit, Cambridge University Press, 1999 Modèle:ISBN.