Quaternions de Hurwitz

Les quaternions de Hurwitz portent ce nom en l'honneur du mathématicien allemand Adolf Hurwitz.

Définition

Quaternions

Soit A un anneau. On definit l'algèbre de quaternions ℍ(A) comme l'algèbre A[ℍ] du groupe ℍ des quaternions. Plus explicitement, c'est le A-module libre engendré par Modèle:Math, Modèle:Math, Modèle:Math et Modèle:Math, muni de la structure d'algèbre :

• Modèle:Math élément neutre pour la multiplication,
• ${\mathrm{i}}^2={\mathrm{j}}^2={\mathrm{k}}^2=-1$
• et les identités :
  • $\mathrm{i}=\mathrm{j}\mathrm{k}=-\mathrm{k}\mathrm{j},$
  • $\mathrm{j}=\mathrm{k}\mathrm{i}=-\mathrm{i}\mathrm{k},$
  • $\mathrm{k}=\mathrm{i}\mathrm{j}=-\mathrm{j}\mathrm{i}.$

Quaternions de Hurwitz

Soit $ℍ(\mathbb{Z})$, l'algèbre des quaternions sur l'anneau ℤ des entiers relatifs. On définit les quaternions de Hurwitz — aussi appelés entiers de Hurwitz — $\widetilde{ℍ}(\mathbb{Z})$ comme suit :

$\widetilde{ℍ}(\mathbb{Z})=ℍ(\mathbb{Z})\cup (\frac{\mathrm{1}\mathrm{+}\mathrm{i}\mathrm{+}\mathrm{j}\mathrm{+}\mathrm{k}}{2}+ℍ(\mathbb{Z})).$

Ils forment un ordre maximal dans l'algèbre des quaternions sur ℚ.

Propriétés

Les quaternions de Hurwitz forment un anneau unitaire, intègre mais non commutatif.

Le carré ║a║Modèle:2 de la norme d'un entier de Hurwitz a est un entier naturel. Cet entier est premier si et seulement si a est un élément irréductible de l'anneau.

Il existe 24 entiers de Hurwitz de norme 1 : 8 formés par ±1, ±i, ±j, ±k et 16 formés par (±1 ± i ± j ± k)/2.

Tout élément a de l'anneau est associé (à gauche ou à droite, au choix) à (au moins) un élément à composantes entières, c'est-à-dire que a est le produit d'un tel élément par l'un de ces 24 éléments de norme 1. En effet, si les quatre composantes de a sont des demi-entiers, il existe ω de la forme Modèle:Nobr tel que les composantes de Modèle:Nobr soient des entiers pairs, et celles de ωa = ω(a – Modèle:Surligner) + 1 sont alors entières.

Un anneau commutatif intègre A est dit euclidien s'il est muni d'un « préstathme euclidien », c'est-à-dire d'une application v de A dans ℕ vérifiant que pour deux éléments non nuls quelconques a, b de A tels que b ne divise pas a, il existe des éléments q, r de A tels que a = qb + r et v(r) < v(b), et cette définition se latéralise pour des anneaux non commutatifs. En ce sens, l'anneau des entiers de Hurwitz est euclidien à gauche et à droite avec, comme préstathme, la norme. Autrement dit, pour la division euclidienne à gauche : si a et b sont des entiers de Hurwitz, avec b non nul, il existe au moins un couple (q, r) d'entiers de Hurwitz tel que a = qb + r avec ║r║ < ║b║. En effet, il suffit de poser r = a – qb après avoir choisi pour q un entier de Hurwitz tel que ║abModèle:-1 – q║ < 1, or un tel q existe toujours.

Il en résulte que :

• tout idéal à gauche est principal ;
• on peut définir un algorithme d'Euclide à gauche dans l'anneau des entiers de Hurwitz, et trouver ainsi un plus grand commun diviseur (à droite) de a et b (noté pgcd(a, b)), c'est-à-dire ayant la plus grande norme, et des entiers de Hurwitz u et v tels que pgcd(a, b) = ua + vb.

On a bien sûr les analogues en échangeant gauche et droite, par un raisonnement identique ou par conjugaison.