Groupe des quaternions

Graphe des cycles de Q. Chaque couleur précise une série de puissances d'un élément quelconque connecté à l'élément neutre (1). Par exemple, le cycle rouge reflète le fait que i ² = -1, i ³ = -i  et i ⁴ = 1. Le cycle rouge reflète aussi le fait que (-i )² = -1, (-i )³ = i  et (-i )⁴ = 1.

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, le groupe des quaternions est l'un des deux groupes non abéliens d'ordre 8.

Il admet une représentation réelle irréductible de degré 4, et la sous-algèbre des matrices 4×4 engendrée par son image est un corps gauche qui s'identifie au corps des quaternions de Hamilton.

Définition

Le groupe des quaternions est souvent désigné par le symbole Q ou Q₈ et est écrit sous forme multiplicative, avec les 8 éléments suivants :

$Q=\{1,-1,i,-i,j,-j,k,-k\}.$

Ici, 1 est l'élément neutre, $(-1{)}^2=1$ et $(-1).a=a.(-1)=-a$ pour tout a dans Q. Les règles de multiplication restantes peuvent être obtenues à partir de l'associativité et de la relation suivante :

$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$

Table du groupe

La table de multiplication pour Q est donnée par :

	1	i	j	k	-1	-i	-j	-k
1	1	i	j	k	-1	-i	-j	-k
i	i	-1	k	-j	-i	1	-k	j
j	j	-k	-1	i	-j	k	1	-i
k	k	j	-i	-1	-k	-j	i	1
-1	-1	-i	-j	-k	1	i	j	k
-i	-i	1	-k	j	i	-1	k	-j
-j	-j	k	1	-i	j	-k	-1	i
-k	-k	-j	i	1	k	j	-i	-1

Le groupe ainsi obtenu est non abélien, comme on peut le voir sur la relation $ij=-ji$. Cependant Q est un groupe hamiltonien : tout sous-groupe de Q est normal, mais Q est non abélien. Tout groupe hamiltonien contient une copie de Q.

Propriétés

Représentation

Considérant un espace vectoriel réel de dimension 4 dont une base est notée {1, i, j, k}, on le munit d'une structure d'algèbre associative en utilisant la table de multiplication ci-dessus et la distributivité. Le résultat est un corps gauche appelé le corps des quaternions. Le lemme de Schur généralise cette approche. Il montre en effet que l'algèbre (associative) des endomorphismes de toute représentation irréductible d'un groupe est une algèbre à division donc un corps, parfois non commutatif.

Inversement, on peut démarrer avec le corps des quaternions et définir le groupe des quaternions comme le sous-groupe multiplicatif constitué des 8 éléments $1,-1,i,-i,j,-j,k,-k$.

Sur tout corps de caractéristique différente de 2, le théorème de Maschke réduit l'étude des représentations de Q à celle de ses représentations irréductibles.

Représentations rationnelles et réelles

Faisons l'inventaire plus précis des représentations irréductibles de Q, à coefficients rationnels (ou réels, par extension des scalaires), et la description de celle de degré 4 à laquelle il est fait implicitement allusion ci-dessus.

• On construit la représentation régulière λ (à coefficients rationnels) du groupe Q et de son algèbre ℚ[Q] en les faisant agir sur ℚ[Q] par multiplication à gauche. Comme toute représentation régulière d'algèbre unifère, λ est fidèle (car Modèle:Nobr Notons (δ_g)_g∈Q la base canonique de l'espace vectoriel ℚ[Q] Modèle:≃ [[Exemples d'espaces vectoriels|ℚModèle:Exp Modèle:≃ ℚModèle:8]].
• La somme vModèle:Ind des 8 vecteurs de cette base est fixe par tous les λ(g) donc la sous-représentation λModèle:Ind, sur la droite vectorielle VModèle:Ind := ℚvModèle:Ind, est la représentation unité de Q.
• Il existe trois autres droites stables et sous-représentations de degré 1, notées VModèle:Ind = ℚvModèle:Ind et λModèle:Ind pour q = i, j, k : par exemple, vModèle:Ind := (δModèle:Ind + δModèle:Ind + δModèle:Ind + δModèle:Ind) – (δModèle:Ind + δModèle:Ind + δModèle:Ind + δModèle:Ind) est envoyé sur lui-même par λ(±1) et λ(±i), et sur son opposé par λ(±j) et λ(±k).
• Enfin, les quatre vecteurs wModèle:Ind := δModèle:Ind – δModèle:Ind pour q = 1, i, j, k engendrent un sous-espace W de dimension 4 supplémentaire de la somme (directe) des quatre droites précédentes. On vérifie que W est stable par λ : pour tout g ∈ Q, Modèle:Nobr où Modèle:Nobr et qModèle:' ∈ {1, i, j, k} sont déterminés par l'égalité (dans Q) gq = εqModèle:'. Dans la sous-Modèle:Lien ℚ[Q], que nous noterons w, on remarque que w(δModèle:Ind) = –w(δModèle:Ind), c'est-à-dire que w se factorise par une représentation wModèle:' de l'algèbre quotient HModèle:Ind des « quaternions à coefficients rationnels » (pour une description matricielle de wModèle:', voir la représentation des quaternions comme matrices 4×4 de réels). Cette représentation wModèle:' est simplement la représentation régulière de l'algèbre HModèle:Ind (dont l'espace vectoriel s'identifie naturellement à W). L'irréductibilité de wModèle:' (donc celle de w) vient du fait que [[Quaternion#Parties réelle et imaginaire, conjugaison, norme et inverse|tout élément non nul x de HModèle:Ind est inversible]] donc HModèle:Indx = HModèle:Ind.

La représentation régulière de Q est donc somme directe de cinq représentations irréductibles : quatre de degré 1 (non équivalentes) et une de degré 4. Le morphisme d'algèbres $\mathbb{Q}[Q]\to {\mathbb{Q}}^4\oplus {\mathrm{H}}_{\mathbb{Q}},x\mapsto ({\lambda }_1(x),{\lambda }_{\mathrm{i}}(x),{\lambda }_{\mathrm{j}}(x),{\lambda }_{\mathrm{k}}(x),w(x)(1))$ est injectif donc (par comparaison des dimensions) c'est un isomorphisme.

Représentations complexes

Modèle:Voir Sur ℂ, le groupe Q a également cinq représentations irréductibles, calculées dans l'article détaillé : les quatre caractères réels λModèle:Ind, λModèle:Ind, λModèle:Ind, λModèle:Ind ci-dessus et une représentation ρ, de degré 2 donc non Modèle:Lien (c'est un exemple de représentation induite, que l'on peut expliciter matriciellement). L'algèbre ℂ[Q] est donc [[Algèbre d'un groupe fini#Théorème d'Artin-Wedderburn|isomorphe à ℂModèle:4⊕MModèle:Ind(ℂ)]].

On peut remarquer que la représentation réelle w ci-dessus est équivalente à celle obtenue à partir de ρ en considérant ℂModèle:2 comme un espace réel de dimension 4, et que w⊗ℂ est équivalente à ρ ⊕ ρ.

Nature du groupe

Les trois éléments i, j et k sont tous d'ordre 4 dans Q et deux quelconques d'entre eux engendrent le groupe entier. Q admet la présentation

$⟨x,y\mid x^4=1,x^2=y^2,yx{y}^{-1}=x^{-1}⟩$

On peut prendre, par exemple, x = i et y = j.

Tous les sous-groupes propres de Q sont cycliques.

Le centre et le sous-groupe des commutateurs de Q est le sous-groupe {±1}. Le groupe quotient Q/{±1} est isomorphe au groupe de Klein V. Il y a cinq classes de conjugaison : {1}, {-1}, {i, -i}, {j, -j} et {k, -k}.

Le groupe des automorphismes intérieurs de Q est isomorphe à Q modulo son centre, et est par conséquent aussi isomorphe au groupe de Klein. Le groupe des automorphismes de Q est isomorphe au groupe symétrique S₄. Le groupe des automorphismes extérieurs de Q est alors S₄/V qui est isomorphe à S₃.

Le groupe des quaternions Q peut aussi être vu comme un sous-groupe normal d'indice 3 du groupe spécial linéaire SL(2, F₃).

Groupe de quaternions généralisé

Les groupes de quaternions généralisés sont les 2-groupes dicycliques, c'est-à-dire que (pour n ≥ 3), le groupe de quaternions généralisé d'ordre 2ⁿ est le groupe de présentation

$Q_{2^n}=⟨x,y\mid x^{2^{n-1}}=1,x^{2^{n-2}}=y^2,yx{y}^{-1}=x^{-1}⟩.$

Le groupe de quaternions ordinaire correspond au cas n = 3. Le groupe $Q_{2^n}$ peut être réalisé comme le sous-groupe des quaternions unitaires engendré par $x=\cos \left(\frac{2\pi }{2^{n-1}}\right)+i\sin \left(\frac{2\pi }{2^{n-1}}\right)$ et $y=j$.

Le quotient de $Q_{2^n}$ par son centre est isomorphe au groupe diédral $D_{2^{n-1}}$ donc $Q_{2^n}$ est nilpotent de classe n – 1.

Les groupes de quaternions généralisés ont la propriété que chaque sous-groupe abélien est cyclique. On peut prouver qu'un p-groupe fini possédant cette propriété (chaque sous-groupe abélien est cyclique) est soit un groupe cyclique, soit un groupe de quaternions généralisé.

Voir aussi

Articles connexes

• Quaternions de Hurwitz
• Liste des petits groupes
• [[Groupe de Heisenberg#Cas p = 2|Groupe de Heisenberg sur FModèle:Ind]] Modèle:≃ Groupe diédral DModèle:Ind (le seul autre groupe non abélien d'ordre 8, à isomorphisme près)

Liens externes

• Modèle:Lien web
• Modèle:Lien web (énoncé et corrigé d'un examen de L3 à l'université Nice-Sophia-Antipolis)