Groupe dicyclique

En algèbre et plus précisément en théorie des groupes, le groupe dicyclique ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ (pour tout entier n ≥ 2) est défini par la présentation

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n:=⟨a,b\mid a^{2n}=1,b^2=a^n,b^{-1}ab=a^{-1}⟩.$

Les groupes $Q_{2^{m+2}}:={\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_{2^m}$ ($m\ge 1$) sont les groupes quaternioniques (les groupes dicycliques nilpotents). En particulier, $Q_8={\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_2$ est le groupe des quaternions.

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ est un groupe non abélien d'ordre 4n, extension par le sous-groupe cyclique engendré par $a$ (normal et d'ordre 2n) d'un groupe d'ordre 2. Il est donc résoluble.

Contrairement au groupe diédral DModèle:Ind, cette extension n'est pas un produit semi-direct.

Cependant, si n est impair, ${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ est le produit semi-direct du sous-groupe normal $⟨a^2⟩$ (d'ordre n) par $⟨b⟩$ (d'ordre 4).

${\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n$ est aussi une extension par son centre $Z({\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{c}}_n)$ (le sous-groupe d'ordre 2 engendré par $a^n=b^2$) du groupe DModèle:Ind. Cette extension est, elle aussi, non scindée.