Extension de groupes
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Modèle:Ébauche En mathématiques, plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits ». Plus précisément, une extension d'un groupe Q par un groupe N est un groupe G qui s'insère dans une suite exacte courte Modèle:Centrer Autrement dit : G est une extension de Q par N[1] si (à isomorphismes près) N est un sous-groupe normal de G et Q est le groupe quotient G/N.
Notions associées
- L'extension est dite centrale si N est inclus dans le centre de G.
- L'extension triviale de Q par N est celle qui correspond au produit direct N×Q.
- Une scission de l'extensionModèle:Centrer est un morphismeModèle:CentrerL'extension est alors dite scindée. Les extensions scindées de Q par N sont celles qui correspondent aux produits semi-directs . Les groupes Q dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres[2].
- Un morphisme d'extensionsModèle:Centrerest un morphismeModèle:Centrertel que le diagramme associéModèle:Centrercommute, c'est-à-dire tel queModèle:CentrerD'après le lemme des cinq Modèle:Lien, un tel morphisme est toujours un isomorphisme.
Notes et références
Articles connexes
- ↑ C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
- Modèle:Ouvrage et
- Modèle:Article.
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
- Modèle:Ouvrage ;
- Modèle:Ouvrage ;
- Modèle:Ouvrage et
- Modèle:Ouvrage.
- ↑ Modèle:Ouvrage, exercice 11.1.3.