Radiale d'une courbe

Modèle:Ébauche En géométrie plane, la radiale d'une courbe Modèle:Math, associée à un point O fixe, est le lieu des points P définis par $\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{MC}=R_M{\overrightarrow{N}}_M$ où $\overrightarrow{MC}$ est le vecteur joignant le point courant M de Modèle:Math à son centre de courbure C ; autrement dit, c'est le lieu de l'extrémité du vecteur de courbure, $R_M$ le rayon de courbure, attaché à un point fixe.

Cette notion a été étudiée par Modèle:Lien en 1864Modèle:,.

Selon Maurice d'Ocagne, c'est Jules Hoüel qui lui aurait donné le nom de radiale.

Radiale d'une courbe paramétrique

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière.

Pour une courbe paramétrée (x(t), y(t)), sa radiale en un point O(xModèle:Ind, yModèle:Ind) est la courbe paramétrée par :

$\{\begin{array}{cc}X(t)& =x_0-\frac{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}{x^{\prime }(t)y^{″}(t)-x^{″}(t)y^{\prime }(t)}{y}^{\prime }(t)\\ Y(t)& =y_0+\frac{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2}{x^{\prime }(t)y^{″}(t)-x^{″}(t)y^{\prime }(t)}{x}^{\prime }(t)\end{array}$

Propriétés

La radiale d'une courbe algébrique est une courbe algébrique de même degré que sa développée.

On suppose la courbe suffisamment dérivable et birégulière. Si elle est paramétrée par l'abscisse curviligne sous la forme $\overrightarrow{f}(s)$, le centre de courbure s'obtient en posant

$\overrightarrow{g}(s)=\overrightarrow{O\mathrm{\Omega }(s)}=\overrightarrow{f}(s)+\gamma (s{)}^{-1}\overrightarrow{N}(s)$

où $\mathrm{\Omega }$ est le centre de courbure, $\gamma$ la courbure et $\overrightarrow{N}$ le vecteur normal au point $\overrightarrow{f}(s)$.

Le vecteur dérivé de la radiale est

$\overrightarrow{g^{\prime }}(s)=\gamma (s{)}^{-1}\overrightarrow{N^{\prime }}(s)-\frac{{\gamma }^{\prime }(s)}{\gamma (s{)}^2}\overrightarrow{N}(s)=-\overrightarrow{T}(s)-\frac{{\gamma }^{\prime }(s)\overrightarrow{N}(s)}{\gamma (s{)}^2}$

en utilisant les formules de Frenet.

Exemples

Courbe	Radiale
Conique	Courbe sextique
Chaînette ordinaire	Modèle:Lien
Tractrice	Courbe kappa
Spirale logarithmique	Spirale logarithmique
Cycloïde	Cercle
Épicycloïde	Rosace
Deltoïde	Modèle:Lien
Astroïde	Quadrifolium

• 
  Une ellipse, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)
• 
  Une cycloïde, sa développée (en bleu) et sa radiale (en rouge)

Applications

Les courbes radiales apparaissent dans la détermination des couples roue-route : en considérant le roulement sans glissement d'une courbe Modèle:Math (la roue) sur une courbe Modèle:Math (la route), déterminer un point fixe (le moyeu de la roue) par rapport à Modèle:Math tel que sa trajectoire soit rectiligne dans le plan.

Un théorème de Amédée Mannheim établit en effet que pour une courbe et un point donnés, la radiale de cette courbe par rapport au point et sa courbe de Mannheim forment un couple roue-route.

Voir aussi

• Développée

Références

• Modèle:Lien web
• Modèle:Article

Liens externes

• Modèle:Lien web