Relevé horizontal

En géométrie différentielle, il existe plusieurs notions différentes mais intimement reliées de relevé horizontal.

Généralement, il s'agit de relever une entité géométrique depuis la base d'un fibré principal à une entité géométrique sur le fibré principal.

Pour ce faire, il faut que le fibré principal en jeu soit muni d'une distribution horizontale ou encore, de manière équivalente, d'une 1-forme de connexion.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $A\in {\mathrm{\Omega }}^1(P;𝔤)$, une 1-forme de connexion sur $P$ ;
• $H=\ker (A)$, la distribution horizontale.

Définition (relevé horizontal d'un vecteur)

Un relevé horizontal d'un vecteur tangent $v\in TB$ est un vecteur $\tilde{v}\in TP$ tel que :

${\pi }_{*}(\tilde{v})=v$

$A(\tilde{v})=0$

• Remarque : le vecteur tangent $\tilde{v}$ est horizontal en ce sens qu'il repose en la distribution horizontale $H$

Définition (relevé horizontal d'un champ vectoriel)

Le relevé horizontal d'un champ vectoriel $X\in 𝔛(B)$ est le champ vectoriel $\tilde{X}\in 𝔛(P)$ tel que :

${\pi }_{*}(\tilde{X})=X$

$A(\tilde{X})=0$

• Remarque : le champ vectoriel $\tilde{X}$ est horizontal en ce sens qu'il repose partout en la distribution horizontale $H$

Définition (relevé horizontal d'un chemin différentiable)

Un relevé horizontal d'une courbe différentiable $\gamma :[0,1]\to B$ est une courbe $\tilde{\gamma }:[0,1]\to P$ telle que pour tout $t\in [0,1]$ on ait:

$\pi \circ \tilde{\gamma }(t)=\gamma (t)$

$A{|}_{\tilde{\gamma }(t)}(\dot{\tilde{\gamma }}(t))=0$.

• Remarque : la courbe $\tilde{\gamma }$ est horizontale en ce sens qu'elle est partout tangente à la distribution horizontale $H$.

Définition (relevé horizontal d'une sous-variété)

Soit $M\subset B$ une sous-variété.

Supposons que la 2-forme de courbure $F_A\in {\mathrm{\Omega }}^2(B;\mathrm{A}\mathrm{d}P)$ meurt sur $M$.

Alors, $M$ se relève à une sous-variété horizontale en $P$.

Bibliographie

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