2-forme de courbure

La 2-forme de courbure est une forme différentielle induite par une forme de connexion sur un fibré principal dans le domaine de la géométrie différentielle.

Définition

Soient :

$G$ , un groupe de Lie ;
$𝔤 : = L i e (G) : = T_{e} G$ , l'algèbre de Lie de $G$ ;
$B$ , une variété différentielle ;
$π : P \to B$ , un $G$ -fibré principal sur $B$ ;
$A d : G \to A u t (𝔤)$ , la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie $𝔤$ ;
$A d P : = P \times_{A d} 𝔤$ , le fibré adjoint de $P$ sur $B$ ;
$\land : Ω^{p} (P; ℝ) \times Ω^{q} (P; ℝ) \to Ω^{p + q} (P; ℝ)$ le produit extérieur sur les $k$ -formes différentielles réelles sur $P$ ;
$[\cdot, \cdot] : 𝔤 \times 𝔤 \to 𝔤$ le crochet de Lie sur l'algèbre de Lie $𝔤$ ;
$[\cdot \land \cdot] : Ω^{p} (P; 𝔤) \times Ω^{q} (P; 𝔤) \to Ω^{p + q} (P; 𝔤)$ le produit wedge-crochet sur les $k$ -formes différentielles à valeurs en $𝔤$ sur $P$ , défini par les combinaisons linéaires de :
$[(α_{1} \otimes ξ_{1}) \land (α_{2} \otimes ξ_{2})] : = (α_{1} \land α_{2}) \otimes [ξ_{1}, ξ_{2}], \forall α_{1} \in Ω^{p} (P; ℝ), α_{2} \in Ω^{q} (P; ℝ), ξ_{1}, ξ_{2} \in 𝔤$ ;
$A \in Ω^{1} (P; 𝔤)$ , une 1-forme de connexion sur $P$ .

La 2-forme de courbure sur $P$ de la 1-forme de connexion $A$ est par définition :

F_{A}^{♯} = (d A)_{h o r} = (d A) (h o r (\cdot), h o r (\cdot))

.

La 2-forme de courbure sur $P$ peut aussi s'écrire comme :

F_{A}^{♯} : = d A + \frac{1}{2} [A \land A] \in Ω^{2} (P; 𝔤)

.

La 2-forme de courbure étant une forme basique, elle descend à la 2-forme de courbure sur $B$ :

F_{A} \in Ω^{2} (B; A d P)

.

En préquantification, la 2-forme de courbure du fibré préquantique est proportionnelle à la forme symplectique.

Le tenseur électromagnétique de Maxwell est la 2-forme de courbure d'une connexion venant d'un $U (1)$ -fibré principal sur l'espace-temps.

Dans la théorie de jauge, la théorie de Yang-Mills, la théorie de Chern-Simons, la 2-forme de courbure joue un rôle primordial.