Fibré adjoint

En géométrie différentielle, le fibré adjoint est un fibré vectoriel associé particulier d'un $G$-fibré principal. Il joue un rôle important en théorie de jauge où les transformations de jauge infinitésimales, les vecteurs tangents à l'espace des formes de connexions et la 2-forme de courbure sont toutes des formes différentielles à valeurs dans le fibré adjoint.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $𝔤:=\mathrm{L}\mathrm{i}\mathrm{e}(G):=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $B$, une variété différentielle ;
• $\pi :P\to B$, un $G$-fibré principal sur $B$ ;
• $\mathrm{\Phi }:G\to \mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{f}\mathrm{f}(P)$, l'action de groupe à droite de $G$ sur $P$ ;
• $\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔤)$, la représentation adjointe de $G$ sur son algèbre de Lie $𝔤$.

Définition

Le fibré adjoint à $P$ est le fibré associé suivant :

$\mathrm{A}\mathrm{d}P:=P{\times }_{\mathrm{A}\mathrm{d}}𝔤$

Exemples de sections du fibré associé

• Toute transformation de jauge infinitésimale correspond à une 0-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
• Tout vecteur tangent de l'espace des formes de connexions correspond à une 1-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint ;
• La 2-forme de courbure d'une forme de connexion est une 2-forme différentielle à valeurs en le fibré adjoint.

Structure d'algèbre sur les sections du fibré adjoint

La représentation adjointe $\mathrm{A}\mathrm{d}$ préserve le crochet de Lie :

$[{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_1),{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_2)]={\mathrm{A}\mathrm{d}}_g[{\xi }_1,{\xi }_2],\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$

Étant $\mathrm{A}\mathrm{d}$-équivariant, le crochet de Lie descend à une forme bilinéaire antisymétrique définie fibre par fibre pour le fibré adjoint :

$[\cdot ,\cdot ]:\mathrm{A}\mathrm{d}P\times \mathrm{A}\mathrm{d}P\to \mathrm{A}\mathrm{d}P$

Ceci donne, en retour, une structure d'algèbre de Lie aux sections du fibré adjoint :

$[\cdot ,\cdot ]:\mathrm{\Gamma }(\mathrm{A}\mathrm{d}P)\times \mathrm{\Gamma }(\mathrm{A}\mathrm{d}P)\to \mathrm{\Gamma }(\mathrm{A}\mathrm{d}P)$

Combiné avec le produit extérieur sur les formes différentielles, ceci définit un produit crochet-extérieur sur les formes différentielles à valeurs en le fibré adjoint  :

$[\cdot \wedge \cdot ]:{\mathrm{\Omega }}^p(B;\mathrm{A}\mathrm{d}P)\times {\mathrm{\Omega }}^q(B;\mathrm{A}\mathrm{d}P)\to {\mathrm{\Omega }}^{p+q}(B;\mathrm{A}\mathrm{d}P)$

Références

• 1986, S. K. Donaldson & P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds.