Représentation parabolique

Modèle:Traduction à revoir En théorie des nombres, les représentations paraboliques sont un certain type de représentation de groupe algébrique apparaissant comme éléments discrets d'espaces $L^2$. Le terme parabolique  dérive indirectement des formes paraboliques de la théorie des formes modulaires. Dans la formulation actuelle des formes automorphes, les représentations remplacent les fonctions holomorphes ; ces représentations pouvant être celles de  groupes algébriques adéliques.

Lorsque le groupe est le groupe linéaire général Modèle:Quoi les représentations paraboliques sont directement liées aux formes paraboliques et aux formes de Maass. Pour le cas de la forme parabolique, chaque forme propre de Hecke (newform) correspond à une représentation parabolique.

 Formulation

Soit G un groupe algébrique réductif sur un corps de nombres K et désignons par A les adèles de K. Plongeons G(K) diagonalement dans G(A), par exemple avec Modèle:Quoi et Modèle:Quoi les éléments correspondants de Modèle:Quoi alors Modèle:Quoi). Désignons par Z le centre de G et soit ω un caractère unitaire continu de Z(K) \ Z(A)× vers C^×. Fixons une mesure de Haar sur G(A) et désignons par L²₀(G(K) \ G(A), ω) l'espace de Hilbert des fonctions mesurables à valeurs complexes, f, sur G(A) vérifiant

1. f(γg) = f(g) pour tout γ ∈ G(K)
2. f(gz) = f(g)ω(z) pour tout z ∈ Z(A)
3. Modèle:Quoi
4. Modèle:Quoi pour tous les radicaux unipotents, U, de tous les sous-groupes paraboliques de G(A).

Ceci est appelé l'espace des formes paraboliques de caractère central ω sur G(A). Une fonction élément d'un tel espace est appelé une fonction parabolique. 

Une telle fonction parabolique engendre une représentation unitaire du groupe G(A) sur l'espace de Hilbert complexe Modèle:Quoi par les translatés à droite de f où l'action de g ∈ G(A) sur Modèle:Quoi est donnée par

Modèle:Quoi

L'espace des formes paraboliques de caractère central ω se décompose en une somme directe d'espaces de Hilbert

Modèle:Quoi

où la somme est sur les sous-représentation irréductibles de L²₀(G(K) \ G(A), ω) et les m_π sont des entiers strictement positifs (c'est-à-dire que chaque sous-représentation irréductible apparaît avec une multiplicité finie). Une représentation parabolique de G(A) est une sous-représentation (π, V_π) pour un certain ω.

Les groupes pour lesquels les multiplicités m_π sont toutes égales à un sont dits posséder la propriété de multiplicité un.

Références

• James W. Cogdell, Henry Hyeongsin Kim, Maruti Ram Murty. Des conférences sur les fonctions L Automorphes (2004), Chapitre 5.