Forme parabolique

Modèle:Ébauche En mathématiques, une forme parabolique ou cuspidale (selon l'anglais cusp form) est une forme modulaire vérifiant des conditions d'annulation aux pointes.

Une forme modulaire $f$ pour le groupe modulaire $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$ est parabolique si $f$ tend vers zéro pour $\mathrm{I}\mathrm{m}z\to \mathrm{\infty }$, car la courbe modulaire $ℍ/\mathrm{\Gamma }$ n'a qu'une seule pointe (où $ℍ$ désigne le plan hyperbolique). Dans ce cas, une condition équivalente pour être parabolique est que la série de Fourier de $f$ est de la forme

$f(z)=\sum _{n>0}{a}_n{e}^{2\pi inz}=\sum _{n>0}{a}_n{q}^n$

avec $q=e^{2\pi iz}$. L'annulation des $a_n$ pour $n<0$ signifie que $f$ est une forme modulaire holomorphe. L'annulation de $a_0$ la rend parabolique.

Forme parabolique de poids donné

Ici on considère les formes paraboliques pour le groupe modulaire $\mathrm{\Gamma }=\mathrm{P}\mathrm{S}\mathrm{L}(2,\mathbb{Z})$. La définition implique que le poids d'une forme parabolique non-nulle est nécessairement pair. La dimension de l'espace vectoriel des formes paraboliques de poids $k=2m\in \mathbb{Z}$ peut être calculée avec le théorème de Riemann-Roch. Le résultat vaut $\left[\frac{m}{6}\right]-1$ si $m\equiv 1\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}6$ et $\left[\frac{m}{6}\right]$ sinon. Ainsi, les plus petits poids pour lesquels existent des formes paraboliques non-triviaux sont

$k=12,16,18,20,22,26$,

et dans chacun de ces cas, la forme parabolique est unique à multiplication par un complexe près.

Par exemple, l'unique forme parabolique de poids 12 (à multiplication par un complexe près) est le discriminant modulaire

$\mathrm{\Delta }(z)=(2\pi {)}^{12}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\tau (n){\mathrm{e}}^{2\pi inz}$,

dont les coefficients de Fourier $\tau (n)$ définissent la fonction tau de Ramanujan.

Références

• Tom Apostol: Modular functions and Dirichlet series in number theory. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 41. Springer-Verlag, New York, 1990. Modèle:ISBN

Voir aussi

• Représentation parabolique
• Cusp Form (MathWorld)