Fonction tau de Ramanujan

Valeurs de Modèle:Formule pour Modèle:Formule en échelle logarithmique. La ligne bleue sélectionne uniquement les valeurs de Modèle:Mvar qui sont des multiples de 121.

La fonction tau de Ramanujan, étudiée par Ramanujan, est la fonction $\tau :\mathbb{N}\to \mathbb{Z}$ définie par l'identité suivante :

$\sum _{n\ge 1}\tau (n)q^n=q\prod _{n\ge 1}{(1-q^n)}^{24}=q\varphi (q{)}^{24}=\eta (z{)}^{24}=\mathrm{\Delta }(z),$

où Modèle:Formule avec Modèle:Formule, $\varphi$ est l'indicatrice d'Euler, Modèle:Mvar est la fonction êta de Dedekind, et la fonction Modèle:Formule est une forme parabolique de poids 12 et de niveau 1, connue sous le nom de forme modulaire discriminant. Elle apparaît être en relation avec un « terme d'erreur » impliqué dans le comptage du nombre de façons d'exprimer un entier comme une somme de 24 carrés. Une formule due à Ian G. Macdonald a été donnée dans Modèle:Référence Harvard sans parenthèses.

Valeurs de Modèle:Formule

Les premières valeurs de la fonction tau sont données dans le tableau suivant (Modèle:OEIS) :

Modèle:Mvar	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Modèle:Formule	1	−24	252	−1472	4830	−6048	−16744	84480	−113643	−115920	534612	−370944	−577738	401856	1217160	987136

Les conjectures de Ramanujan

Ramanujan (1916) a remarqué, sans le démontrer, les propriétés suivantes sur Modèle:Formule:

• Modèle:Formule si Modèle:Formule (ce qui signifie que Modèle:Formule est multiplicative)
• Modèle:Formule pour Modèle:Mvar premier et Modèle:Formule.
• Modèle:Formule pour tout premier Modèle:Mvar.

Les deux premières propriétés ont été prouvées par Mordell (1917) et la troisième, appelée la conjecture de Ramanujan, a été prouvée par Deligne en 1974 à la suite de sa preuve des conjectures de Weil (plus précisément, il l'a déduite en les appliquant à une variété de Kuga-Sato).

Congruences pour la fonction tau

Pour Modèle:Formule et Modèle:Formule, définissons Modèle:Formule comme la somme des Modèle:Mvar ièmes puissances des diviseurs de Modèle:Mvar. La fonction tau satisfait plusieurs relations de congruence ; beaucoup d'entre elles peuvent être exprimées en termes de Modèle:Formule. En voici quelques-unes :

1. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod{2}^{11}\text{ pour }n\equiv 1mod8$
2. $\tau (n)\equiv 1217{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{13}\text{ pour }n\equiv 3mod8$
3. $\tau (n)\equiv 1537{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{12}\text{ pour }n\equiv 5mod8$
4. $\tau (n)\equiv 705{\sigma }_{11}(n)mod{2}^{14}\text{ pour }n\equiv 7mod8$
5. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^6\text{ pour }n\equiv 1mod3$
6. $\tau (n)\equiv n^{-610}{\sigma }_{1231}(n)mod{3}^7\text{ pour }n\equiv 2mod3$
7. $\tau (n)\equiv n^{-30}{\sigma }_{71}(n)mod{5}^3\text{ pour }n\equiv ̸0mod5$
8. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod7\text{ pour }n\equiv 0,1,2,4mod7$
9. $\tau (n)\equiv n{\sigma }_9(n)mod{7}^2\text{ pour }n\equiv 3,5,6mod7$
10. $\tau (n)\equiv {\sigma }_{11}(n)mod691.$

Pour Modèle:Formule premier, on a Modèle:,

1. $\tau (p)\equiv 0mod23\text{ si }\left(\frac{p}{23}\right)=-1$
2. $\tau (p)\equiv {\sigma }_{11}(p)mod23^2\text{ si }p\text{ est de la forme }{a}^2+23b^2$
3. $\tau (p)\equiv -1mod23\text{ sinon}.$

Conjectures sur τ(n)

Supposons que Modèle:Mvar soit une Modèle:Lien entière de poids Modèle:Mvar telle que ses coefficients de Fourier Modèle:Formule soient entiers. Soit le problème :

Étant donné que Modèle:Mvar n'a pas de multiplication complexe, est-ce que pour presque tous nombres premiers Modèle:Mvar, on a Modèle:Formule ?

En effet, la plupart des nombres premiers devraient avoir cette propriété, et sont par conséquent dits ordinaires. Malgré les grandes avancées de Deligne et Serre sur les représentations galoisiennes, qui déterminent Modèle:Formule pour Modèle:Mvar premier à Modèle:Mvar, on ne sait pas comment calculer Modèle:Formule. Le seul théorème à cet égard est le célèbre résultat d'Elkies pour les courbes elliptiques modulaires, qui garantit qu'il existe une infinité de nombres premiers Modèle:Mvar tels que Modèle:Formule, qui sont donc congrus à 0 modulo Modèle:Formule. Il n'existe pas d'exemples connus de Modèle:Mvar sans multiplication complexe de poids supérieur à 2 pour lequel Modèle:Formule pour une infinité de nombres premiers Modèle:Mvar (bien que cela devrait être vrai pour presque tout Modèle:Mvar). Il n'y a pas non plus d'exemples connus avec Modèle:Formule pour une infinité de Modèle:Mvar. Certains chercheurs avaient commencé à douter que Modèle:Formule pour une infinité de Modèle:Mvar. Les seules solutions jusqu'à 10¹⁰ de l'équation Modèle:Formule sont 2, 3, 5, 7, 2411 et Modèle:Val Modèle:OEIS.

Lehmer (1947) a conjecturé que Modèle:Formule pour tout Modèle:Mvar. Lehmer a vérifié sa conjecture jusqu'à Modèle:Val (Apostol 1997, p. 22). Le tableau suivant récapitule l'avancée de la borne supérieure Modèle:Formule connue.

Modèle:Mvar	référence
Modèle:Val	Lehmer (1947)
Modèle:Val	Lehmer (1949)
Modèle:Val	Serre (1973, p. 98), Serre (1985)
Modèle:Val	Jennings (1993)
Modèle:Val	Jordan et Kelly (1999)
Modèle:Val	Bosman (2007)
Modèle:Val	Zeng et Yin (2013)
Modèle:Val	Derickx, van Hoeij, et Zeng (2013)

Références

• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage
• Modèle:Ouvrage