Conjecture de Ramanujan

En mathématiques, la conjecture de Ramanujan, due à Srinivasa Ramanujan (et démontrée par Pierre Deligne en 1973), prédit certaines propriétés arithmétiques ainsi que le comportement asymptotique de la fonction tau qu'il a définie. La conjecture de Ramanujan généralisée, ou conjecture de Ramanujan-Petersson, introduite par Hans Petersson en 1930, en est une généralisation à d'autres formes modulaires ou automorphes.

Les fonctions tau et L de Ramanujan

Modèle:Article connexe La fonction zêta de Riemann et les fonctions L de Dirichlet sont égales à un produit eulérien (pris sur tous les p premiers, et où a est un caractère),

$L(s,a)=\prod _p(1+\frac{a(p)}{p^s}+\frac{a(p^2)}{p^{2s}}+\dots )$ (équation 1) ;

ces caractères étant complètement multiplicatifs, on a également

$L(s,a)=\prod _p{(1-\frac{a(p)}{p^s})}^{-1}$ (équation 2).

Les fonctions L des formes automorphes vérifient également l'équation (1), mais pas l'équation (2), les « caractères » correspondants n'étant pas complètement multiplicatifs. Ramanujan a cependant découvert que la fonction L du discriminant modulaire, appelée fonction L de Ramanujan, satisfaisait la relation modifiée

$L(s,\tau )=\prod _p{(1-\frac{\tau (p)}{p^s}+\frac{1}{p^{2s-11}})}^{-1}$ (équation 3),

où Modèle:Math est la fonction tau de Ramanujan définie par les coefficients de Fourier Modèle:Math de la forme parabolique Modèle:Math de poids Modèle:Math (et donc comme les coefficients de la série entière correspondant au produit infini $q\prod _{n>0}{(1-q^n)}^{24}$) :

$\mathrm{\Delta }(z)=\sum _{n>0}\tau (n)q^n=q\prod _{n>0}{(1-q^n)}^{24}=q-24q^2+252q^3-1472q^4+4830q^5-\cdots ,$

avec $q=e^{2\pi iz}$.

Le terme $\frac{1}{p^{2s-11}}$ peut être vu comme un terme d'erreur (venant de ce que tau n'est pas complètement multiplicative).

La conjecture de Ramanujan

Ramanujan observa sur un grand nombre de valeurs de $p$ que le polynôme du second degré en $u=p^{-s}$, $P(u)=1-\tau (p)u+p^{11}{u}^2,$ apparaissant dans l'équation (3), avait toujours deux racines non réelles (complexes conjuguées), et donc que Modèle:Math ; c'est cette inégalité qui est appelée la conjecture de Ramanujan. Ramanujan a en fait conjecturé les trois propriétés suivantes de la fonction tau :

1. Modèle:Math est multiplicative,
2. Modèle:Math n'est pas complètement multiplicative, mais pour tout Modèle:Mvar premier et Modèle:Mvar entier > 0, on a : Modèle:Math, et
3. Modèle:Math

Le caractère multiplicatif de Modèle:Math (s'il est démontré) permet d'en déduire (pour tout n) le résultat un peu plus faible, pour tout Modèle:Math :

$\tau (n)=O\left(n^{\frac{11}{2}+\epsilon }\right)$ (où O est la notation de Landau).

En 1917, Louis Mordell démontra les deux premières propriétés en utilisant des techniques d'analyse complexe, en particulier les opérateurs de Hecke. La conjecture de Ramanujan proprement dite, beaucoup plus difficile, fut attaquée en remarquant une vague analogie entre les propriétés des racines du polynôme P, l'approximation pour $\tau (n)$, et l'hypothèse de Riemann. Cela conduisit à une reformulation de la conjecture due principalement à Michio Kuga (avec des contributions de Mikio Satō, Gorō Shimura, et Yasutaka Ihara) permettant à Pierre Deligne de la ramener aux conjectures de Weil en 1968, et finalement à une démonstration complète lorsque les conjectures furent prouvées par Deligne en 1973. Cette relation entre les deux problèmes devait inspirer des travaux profonds à la fin des années 60, lorsque les conséquences de la théorie de la cohomologie étale furent étudiées.

La conjecture de Ramanujan-Petersson pour les formes modulaires

En 1937, Erich Hecke utilisa lui aussi les opérateurs de Hecke pour généraliser les résultats de Mordell aux Modèle:Lien des sous-groupes discrets Modèle:Math de Modèle:Math. Pour toute forme modulaire

$f(z)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{q}^{n}q=e^{2\pi iz},$

on peut construire la série de Dirichlet

$\phi (s)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{a_n}{n^s}.$

Pour une forme modulaire Modèle:Math de poids Modèle:Math pour Modèle:Math, Modèle:Math converge absolument dans le demi-plan Modèle:Math, parce que Modèle:Math. Comme Modèle:Mvar est de poids Modèle:Mvar, il s'avère que Modèle:Math est une fonction entière, et que Modèle:Math vérifie l'équation fonctionnelle :

$R(k-s)=(-1{)}^{\frac{k}{2}}R(s);$

(ce résultat fut démontré par Wilton en 1929). Cette correspondance entre Modèle:Mvar et Modèle:Mvar est bijective (Modèle:Math). Soit Modèle:Math pour Modèle:Math, alors Modèle:Math est relié à Modèle:Math par la transformation de Mellin :

$R(s)=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}g(x)x^{s-1}dx\iff g(x)=\frac{1}{2\pi i}\underset{\text{Re}(s)={\sigma }_0}{\int }R(s)x^{-s}ds$,

et ceci met en correspondance la série de Dirichlet vérifiant l'équation fonctionnelle ci-dessus avec la forme automorphe d'un sous-groupe discret de Modèle:Math.

Il est alors possible de formuler une conjecture plus générale, appelée la conjecture de Ramanujan-Petersson, pour des formes de poids Modèle:Mvar, en remplaçant l'exposant 11/2 de la conjecture de Ramanujan par Modèle:Math. Elle est également une conséquence des conjectures de Weil, sauf pour Modèle:Math, qui a été traité indépendamment par Deligne et Serre en 1974.

Généralisations

La conjecture pour les formes automorphes

En 1966, Ichirō Satake reformula la conjecture de Ramanujan-Petersson en termes de représentations automorphes de Modèle:Math (en affirmant que les composantes locales des représentations appartiennent à la série principale), et suggéra que cette condition pourrait généraliser la conjecture à des formes automorphes sur d'autres groupes. Sous cette forme, de nombreux contre-exemples furent trouvés, mais Ilya Piatetski-Shapiro obtint en 1979 un raffinement de cette conjecture (connu sous le nom de conjecture de Ramanujan généralisée) qui n'a pas été réfuté, et que Robert Langlands a rattaché à son propre programme.

La conjecture sur des corps de fonctions

La construction par Vladimir Drinfeld de la correspondance globale de Langlands pour Modèle:Math sur un corps de fonctions global permit de démontrer la conjecture de Ramanujan-Petersson dans ce cas. Laurent Lafforgue réussit en 2002 à étendre la technique des Modèle:Lien au cas de Modèle:Math en caractéristique non nulle ; une technique différente permit à Lomelí de démontrer la conjecture en 2009 pour les groupes classiques.

Applications

La plus célèbre application de la conjecture de Ramanujan est la construction explicite de certains graphes faite par Lubotzky, Phillips et Sarnak, graphes auxquels on a justement donné le nom de « graphes de Ramanujan » pour cette raison. Une autre application est que la conjecture de Ramanujan-Petersson pour le groupe général linéaire Modèle:Math implique la Modèle:Lien concernant les valeurs propres du laplacien pour certains groupes discrets.

Voir aussi

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