Représentation adjointe

En mathématiques, il existe deux notions de représentations adjointes :

• la représentation adjointe d'un groupe de Lie sur son algèbre de Lie,
• la représentation adjointe d'une algèbre de Lie sur elle-même.

Alors que la première est une représentation de groupe, la seconde est une représentation d'algèbre.

Définition

Soient :

• $G$, un groupe de Lie ;
• $e\in G$, l'élément identité de $G$ ;
• $𝔤:=T_{e}G$, l'algèbre de Lie de $G$ ;
• $\iota :G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(G);g\mapsto {\iota }_g$ l'automorphisme intérieur de $G$ sur lui-même, donné par ${\iota }_{g_1}(g_2)=g_1{g}_2{g}_1^{-1}$.

Définition : La représentation adjointe du groupe de Lie $G$ sur son algèbre de Lie $𝔤$ est :

$\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔤);g\mapsto {\mathrm{A}\mathrm{d}}_g:=(({\iota }_g{)}_{*}{|}_e:𝔤\to 𝔤)$.

Remarques :

• la représentation adjointe $\mathrm{A}\mathrm{d}:G\to \mathrm{A}\mathrm{u}\mathrm{t}(𝔤)$ est un morphisme de groupes :

  ${\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g_1{g}_2}={\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g_1}\circ {\mathrm{A}\mathrm{d}}_{g_2},\mathrm{\forall }{g}_1,g_2\in G$ ;

• pour tout $g\in G$, la représentation adjointe de $g$ est un isomorphisme d'algèbres :

  $[{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_1),{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_2)]={\mathrm{A}\mathrm{d}}_g[{\xi }_1,{\xi }_2],\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$.

Définition : La représentation adjointe de l'algèbre de Lie $𝔤$ sur elle-même est :

$\mathrm{a}\mathrm{d}:𝔤\to \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(𝔤);\xi \mapsto {\mathrm{a}\mathrm{d}}_{\xi }:={\mathrm{A}\mathrm{d}}_{*}{|}_e(\xi )$.

Remarques :

• la structure d'algèbre $[\cdot ,\cdot ]:𝔤\times 𝔤\to 𝔤$ sur l'espace tangent $𝔤=T_{e}G$ peut être définie à partir de la représentation adjointe $\mathrm{a}\mathrm{d}$ via :

  $[{\xi }_1,{\xi }_2]:={\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_1}({\xi }_2),\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$ ;

• puisque le crochet de Lie $[\cdot ,\cdot ]$ satisfait l'identité de Jacobi, la représentation adjointe $\mathrm{a}\mathrm{d}:𝔤\to \mathrm{E}\mathrm{n}\mathrm{d}(𝔤)$ est un morphisme d'algèbres :

  ${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{[{\xi }_1,{\xi }_2]}=[{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_1},{\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_2}],\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$.

Lorsque G est un groupe matriciel

Supposons que $G$ est un groupe de Lie matriciel, Modèle:Eg $\mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℝ)$ ou $\mathrm{G}\mathrm{L}(n;ℂ)$, de sorte que son algèbre de Lie soit aussi matriciel, Modèle:Eg $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n;ℝ)$ ou $\mathrm{M}\mathrm{a}\mathrm{t}(n;ℂ)$. Alors, les deux représentations adjointes sont explicitement :

${\mathrm{A}\mathrm{d}}_g(\xi )=g\xi g^{-1},\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\forall }\xi \in 𝔤$

${\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_1}({\xi }_2)=[{\xi }_1,{\xi }_2],\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$

où $[\cdot ,\cdot ]$ est ici le commutateur de matrices.

Relation avec la forme de Killing

La forme de Killing est définie par :

$K:𝔤\times 𝔤\to ℝ;({\xi }_1,{\xi }_2)\mapsto K({\xi }_1,{\xi }_2):=\mathrm{T}\mathrm{r}({\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_1}\circ {\mathrm{a}\mathrm{d}}_{{\xi }_2})$.

La forme de Killing est $\mathrm{A}\mathrm{d}$-invariante :

$K({\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_1),{\mathrm{A}\mathrm{d}}_g({\xi }_2))=K({\xi }_1,{\xi }_2),\mathrm{\forall }g\in G,\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2\in 𝔤$.

Ainsi, elle vérifie de plus :

$K([{\xi }_1,{\xi }_2],{\xi }_3)=K({\xi }_1,[{\xi }_2,{\xi }_3]),\mathrm{\forall }{\xi }_1,{\xi }_2,{\xi }_3\in 𝔤$.

Régularité de la représentation adjointe

Si $G$ est un groupe de Lie de classe ${𝒞}^{\mathrm{\infty }}$, l'application adjointe $\mathrm{A}\mathrm{d}$ est différentiable. En effet, il suffit de démontrer que l'application d'évaluation $G\times 𝔤\to 𝔤:(g,\xi )\mapsto {\mathrm{A}\mathrm{d}}_g(\xi )$ est différentiable. Mais par définition de $\mathrm{A}\mathrm{d}$, c'est la différentielle en la seconde variable en l'élément neutre de $G\times G\to G;(g_1,g_2)\mapsto g_1{g}_2{g}_1^{-1}$. En toute généralité, il y a une perte de régularité pour la représentation adjointe.

Livre

Modèle:En Modèle:Lien et Modèle:Lien, Foundations of Differential Geometry, 1963